原创 单片机浮点数的实用快速降法

关键词：浮点数 除法 尾数 预估-修正 误差 精度

Y6\,m(F V1\0在较为复杂的单片机系统中，为扩大取值范围，实现复杂的计算和控制，一般都要涉及浮点数的运算。而一般单片机是没有浮点数运算指令的，必须自行编制相应软件。在进行除法计算时，通常使用的方法是比较除法[1],即利用循环移位和减法操作来得到24～32位商，效率很低。有些文献给出了一些改进方法[2]，但思想不清晰，很难推广使用。这里给出一种浮点数除法运算的实用快速算法。该方法以数值计算中的预估-修正方法为指导，充分利用了16位单片机的乘除法功能，很轻易地实现了浮点数的除法。电子园51单片机学习网(tv5`([g6D7qi.|0^enB

"cRh7n:|,k3w01 浮点数格式

IEEE的浮点数标准规定了单精度（4字节）、双精度（8字节）和扩展精度（10字节）三种浮点数的格式。最常用的是单精度浮点数，格式如图1所示。但是这种格式的阶码不在同一个字节单元内，不易寻址，从而会影响运算速度。电子园51单片机学习网H^"s`F$l`o

通常在单片机上采用的是一种变形格式的浮点数，如图2所示。其中的23位尾数加上隐含的最高位1，构成一个定点原码小数，即尾数为小于1大于等于0.5的小数。有关浮点数格式的详细内容请参考有关文献[1][2]。

7F#r?R:_7WG02 快速除法的算法原理

在16 位单片机中只有16位的乘除法，而浮点数的精度（即尾数的有效位数）达24位，因此无法直接相除，但依然可以利用16位的乘除法指令来实现24位除法。不过，如果只进行一次16位的除法必定会带来很大误差，因此问题的关键在于如何消除这个误差，从而达到要求的精度。这其实就是通常数值计算中所采用的预估- 修正方法。

k*pH9`1}o'N0假设两个浮点数经过预处理后，被除数和除数尾数扩展为32位（末8位为0）分别放入X和Y中。邻YL为Y的低16位，并记YH=Y-YL。显然YH≈Y，X/Y与Y/YH相差不多：

)Q2Wvh^C0（X/Y）/（X/YH）=(YH/Y)电子园51单片机学习网\ml ]| U

=YH/(YH+YL)电子园51单片机学习网,Yvr e.@%@d!b

=1/(1+YL/YH)电子园51单片机学习网3F%Po1Wv;c

≈1-YL/YH电子园51单片机学习网4^Wp$X0C4GE2`

r(}A5FZ0S)yP0=(YH-YL)/YL

.I#lM|Q:HRT4N0可见只需要在X/YH的基础上再乘以一个修正因子（YH-YL）/YH，就可以得到X/Y的一次校准值。不难证明这个值已经达到了24位的精度要求。事实上，相对误差满足：电子园51单片机学习网c zeM7Z-R"AP c

,M_[v Wmz0电子园51单片机学习网h:Q A"J8kn5z

v8Ume9f4\X6V03 算法的具体实现电子园51单片机学习网:?*~ TX%m8@ |;^|z,a O Z0e

在具体实现本算法时，主要经过下列步骤：电子园51单片机学习网!U8Lp)by:nU4n

（1）计算预估值Q0=X/YH；电子园51单片机学习网$BZ%bJ't

yXbx5VB X*^1Q0（2）计算修正因子Q1=(YH-YL)/YH;

8h {W w)fM;S0（3）计算校准值Q=Q0×Q1，并作为最后结果。电子园51单片机学习网&q:r[v l6~Q7Kc,?

)sabjl4]0这里的YH虽仍是32位，但其低16位已为0，计算时可以将它视为16位数，这不会影响计算精度。通过两次16位除法，就可得到精确的32位结果。例如，计算Q0时，第一次除法，X除以YH的高16位，得到的商为Q0的高16位，而16位余数末尾添0成32位，再除以YH的高16位，得到Q0的低16位（余数舍去）。由此得到了32位的Q0。电子园51单片机学习网"Bd| MS

c$IJG S5tgt R0在具体运算中，X应选除以4（X左移2位），以保证Q0不会溢出（YH取高16位）：电子园51单片机学习网8z"t{ k~6Cmr.m

1p&D9@wTbp%p0Q0'=（Y/4）/YH≤(0ffffff00H/4)/8000H=7fffh

\?)lp9z]`'K9d)vj0由于X为32位（末8位为0），这一操作不影响有效数字。而Q1（YH-YL）/YH≤1，不存在溢出的问题。最后计算校准值Q时，有Q=4Q0'Q1。电子园51单片机学习网*py7vx2NM

在计算Q0'、Q1时，均进行了两次16位除法，使得Q0'、Q1均为精确的32位，保证了计算过程中的精度，减小了累积误差。对于YL=0即除数只有16位有效数字的特殊情况，直接有Q1=1，还能省去两次16位除法。电子园51单片机学习网T8j%M8Z3EIP

IH^U:W0在计算Q时，则通过3次16位乘法实现了32位乘法，取结果的高32位，即得Q。电子园51单片机学习网@aD xK T;Z

整个算法至多只须用4次除法、3次乘法和5次加法，就求得了浮点数商的尾数，可见计算效率是很高的，保证了运算速度。

j9i4^}w0浮点数除法流程图如图3所示。电子园51单片机学习网gu$n#k8k b"aLc

8DcRE8@w b04 程序源代码电子园51单片机学习网k3CJ._M,a2J7j

限于篇幅，只给出源代码中的关键部分，即有效数字的计算部分。电子园51单片机学习网K bwS8F!c%jFR

；被除数为x，除数为y电子园51单片机学习网5m/n `5e F,Z

!Yi K(OqPj&m0；用yh,hl分别表示y的高16位和低16位

...电子园51单片机学习网P6bP7[,h.z9N0d

3Y0ov \5O-C7@#r;K;IS ?0；假设x，y的有效数字部分分别在（dx,cx）和（bx,ax）中

；计算预估值Q0'=（x/4）/yh

shrl cx,#2 ;计算x/4

divu cx,bx ;计算（x/4）÷yh

ld fx, cx ;把商暂放入寄存器fx,即Q0'的高16位有 ；效数字电子园51单片机学习网`&C@6Z%Kz+ce

V&qY/D4[GC p @b0clr cx电子园51单片机学习网Yp L&d&I$x6O?}

n(M:u$M3d0divu cx,bx ；把余数末尾添0后面再除以yh

*a)xU(Y9[%b0c;S&u N0ld ex,cx ；把商暂放入寄存器ex，即Q0'

;p9kY5U5?/j&H Y F;\9|0；的低16位有效数字

%Pvg+LK.v1SBt0；（fx,ex）=Q0'

,I;R-O(h9_$ql0;计算修正因子 Q1=(yh-yl)/yh电子园51单片机学习网2J$_-v l&L#?^

AGf ac ~}V0cmp ax,0 ;判断yl是否为0

^2L"D!Z,[t]p*cO8b0jne getQ1 ;若yl非0，计算修正因数Q1

xmW,j!f8@r`I0ld ax,ex ;若yl=0,修正因数Q1=1

0jQP&E/],CHJo0ld bx,fx ；（Q0'×Q1）=Q0'，可以直接计算Q电子园51单片机学习网:dc*c4|{;z-u.k P*}

G6[*w^;P5~$|zJK0sjmp getQ电子园51单片机学习网pIt%\.Q n

P+JpBy0getQ1:

ld hx,bx ;把yh放于寄存器hx中电子园51单片机学习网x-{6w7nd)g!t

*u?N'Z)cO"O S%h L Q0neg ax

C6}n V,q1e,uN;V s0dec bx ;计算yh-yl电子园51单片机学习网[/f.bP\ x

divu ax,hx ;计算Q1=(yh-yl)÷yh

h [$pWIL0ld dx,ax ；把商暂时放入寄存器dx，即Q1的高16位有；效数字

.X1b4R2E/]/lZ0clr ax

divu ax,hx ;把余数末尾添0后再除以yh，得Q1的；低16位有效数字电子园51单片机学习网4x4m+xO@'e7Hl Z

L-E%`$tY*D e2~0ld bx dx ；（bx,ax）=Q1电子园51单片机学习网:uD K$O[ p

；计算Q0'×Q1=(fx,ex)×(bx,ax),只取32位有效数字

T1W:dwf,m,?Tw*z%F0ld hx,bx电子园51单片机学习网m3s9@,mEF

%K5x!Vp9vJE0mulu cx,bx,ex ;(dx,cx)=bx×ex

t7SY1h8u0mulu ax,fx ；（bx,ax）=ax×fx电子园51单片机学习网 m#@hY-QE.f

clr ex

add cx,ax电子园51单片机学习网{9u+\ ?'n I%@2D

addc dx,bx电子园51单片机学习网0`6C]8K.{4Rv

C`Y t#V7e6k9{0addc ex,0 ;(ex,dx,cx)=(dx,cx)+(bx,ax)

8qf1{Crx5m9J0mulu ax,fx,hx ;(bx,ax)=fx×hx电子园51单片机学习网5PZD%X6m1O(j~

[ ? O}1w0add ax,dx ;(bx,ax)=(bx,ax)+(ex,dx)电子园51单片机学习网\E_Bd VHR2P0Z.LS

addc bx,ex ;(bx,ax)=Q0'×Q1电子园51单片机学习网y"`:k"YazP

|._OUz~0;计算校准值Q=(Q0' ×Q1)×4并调整阶码电子园51单片机学习网 Y3@Cw*z dy%`q

getQ:电子园51单片机学习网 Js(`@-@ H6L

9S3Me*H_xt0...电子园51单片机学习网"Ix0got-t

代码到这里为止，浮点数商的有效数字已经全部求出。只要再执行一些调整浮点数阶码的操作，就可以得到最终结果。

在作者开发的一个80C196KC单片机系统中，涉及到了二进制-十进制数制转换、分段线性插值、数字滤波等大量浮点数的运算，都是靠加减乘除等底层函数来实现的。电子园51单片机学习网-zW/d]4ST6X f+?

6\ YL7a-r1^/Se[.m2E0此外，本算法思路清晰，因此很容易加以推广。例如，为了得到更高的精度，可取修正因子：
0X4mT#|6o8A)JO0电子园51单片机学习网 L\Cd K$d.@ ~D
电子园51单片机学习网{e~$Op.z8aPl

    则相对误差，转化为十进制，有效数字高达14位。