原创 电机PWM周期与电气时间常数的关系

关于有刷直流电机的PWM驱动，有一个注意事项：“相比于电机的电气时间常数，PWM周期要足够短”。在本文中，我们来探讨一下这个“足够短的PWM周期”具体是多少。

首先，我们来看数值上的相关性。占空比m=0.5时电流纹波值最大，“电机的电气时间常数τ/PWM周期tpwm”与“电流纹波/平均电流”的关系如下表所示：

从这个表中可以看出，τ/tpwm需要10倍以上才能将纹波保持在5%以下，但实际上还应该根据所需特性来决定。在数学上，“相比于电机的电器时间常数τ，当PWM周期tpwm足够短时”，可以认为tpwm/τ≈0，因此可以理解为τ/tpwm要大于100。

下面通过公式来求一下结果。首先来看对有刷直流电机施加电源电压时的等效电路。

电机的电气时间常数是表示相对于输入电压的电流上升特性的值，是达到峰值的63.2%所需的时间。如等效电路所示，从电气角度看，电机是将电机的发电电压Ec加在电阻R和电感L的串联电路中。电机的电气时间常数τ用L/R来表示。这意味着该值越小，电流波形上升越快。

假设电机发电电压Ec=0V，则将电压Ea分步施加给电机等效电路中的电感L和电阻R时的瞬态电流i的关系式为

L・(di/dt)＋R・i＝Ea ……（1）
这个微分方程的通解是
 i＝Ea/R＋A・exp(－R・t/L)     A：初始值 ……（2）
因此，如果在t=0时流过i=i_0 的初始值电流，则
 A＝i_0－Ea/R ……（3）
所以
 i＝(Ea/R)・(1－exp(－R・t/L))＋i_0・exp(－R・t/L) ……（4）

接下来是电机端子间短路、电流再生时的等效电路。

Ia：电机电流
R：电机的等效电阻
L：电机的等效电感
Ec：电机的发电电压

求此时的瞬态电流i。在方程（2）中，设Ea＝0V即可，因此i为
 i＝A・exp(－R・t/L) ……（5）
当t=0时，有刷直流电机PWM驱动瞬态电流波形τ/tpwm变化时，假设流过i_0的初始值电流，则
 A＝i_0 ……（6）
所以
 i＝i_0・exp(－R・t/L) ……（7）

从这些公式可以看出，PWM工作时流过电机线圈的瞬态电流，假设施加电压时的电流为 i_1，则指数函数为
 i_1＝(Ea/R)・(1－exp(－m・tpwm/τ))＋i_01・exp(－m・tpwm/τ) ……（8）
另外，假设电机端子间短路，电流再生时流过的电流为i_2，则指数函数为
 i_2＝i_02・exp(－(1－m)・tpwm/τ) ……（9）

但是前提是Ea：施加电压，R：电机的等效电阻值，m：占空比（=0～1），tpwm：PWM周期，τ：电机的电气时间常数（=L/R），i_01、i_02：各初始电流值，电机的发电电压Ec=0V。
根据这些瞬态电流公式来考虑相对于电机的电气时间常数来说足够短的PWM周期时，应为
 －M・tpwm/τ≈0τ≈0 或 －(1－m)・tpwm/τ≈0
而
 Exp(－m・tpwm/τ)≈1τ)≈1 或 exp(－(1－m)・tpwm/τ)≈1
所以
 i_1≈i_01、i_2≈i_02
成立，始终会流过恒定的电流。而如果要使
 －M・tpwm/τ≈0τ≈0 或 －(1－m)・tpwm/τ≈0
成立，从数学角度看，需要
 τ/(m・tpwm)>100、τ/((1－m)・tpwm)>100
即使按照PWM周期tpwm来考虑，也需要
 τ/tpwm>100
的程度。
关于电流纹波，当电流稳定时，i_2的初始值变为i_1，i_2的结果变为i_1的初始值i_0，因此以下三个公式成立。
 i_1＝(Ea/R)・(1－exp(－m・tpwm/τ))＋i_0・exp(－m・tpwm/τ) ……（10）
 i_2＝i_1・exp(－(1－m)・tpwm/τ) ……（11）
 i_2＝i_0 ……（12）
通过总结公式，消去i_1和i_2，可以求得i_0和m、tpwm、τ的关系式，代入参数并计算可以求得各电流值。
下面给出了两个使用这些公式，从电机电流0A开始进行PWM驱动时的瞬态电流波形示例。首先是在Ea＝12V、R＝6Ω的条件下，按照τ/tpwm＝10、tpwm＝100μs使m变化时的曲线图，可以看出m＝0.5时的纹波最大。

接下来同样是在Ea＝12V、R＝6Ω条件下的曲线图，是通过在m＝0.5时改变tpwm，从而使τ/tpwm变化的示例，可以看出τ/tpwm越大，纹波越小。

实际上，当电源接通时和电机端子间短路时，需要考虑驱动电路中输出MOSFET的导通电阻、以及再生电流流经MOSFET的寄生二极管等因素。