原创 线性时不变系统LTI

如果一个系统任意时刻的输出至多取决于本时刻的输入，而不依赖过去和将来时刻的输入，则该系统称为静态系统或无记忆系统，比如放大器就是一个典型的静态系统。在其他情况下，系统称为动态系统或有记忆系统，比如单位延时器就是一个典型的动态系统。

线性：一个系统具有齐次性(比例性)，又具有可加性，则称该系统为线性系统。

时不变:系统的输入/输出关系不随时间而变化，或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关。y(n-k) = T[x(n-k)]，将输入x(n)直接延时k个单位和将y(n)直接延时k个单位。（若输入信号仅是延迟关系，那么输出信号之间也是相同的延迟关系）

因果系统：系统在任意时刻n的输出只取决于当前和以前时刻的输入。现实中的实时信号处理系统都是因果系统。

稳定系统：输入输出都有界的系统。

在连续系统的时域表示中，常用微分方程来进行描述。在离散系统中，用差分方程来描述。

LTI系统的时域描述 : 差分方程(离散系统)，单位冲激响应h(x)

两类最常用的LTI系统：

1 FIR(有限冲激响应)系统：h(n)只在某一有限时间段内的取值不为0，在这个时间段之外的取值均为0.

2 IIR(无限冲激响应)系统：h(n)的取值在整个时间范围内都不为0.

在数字信号处理中，LTI系统常被称为滤波器，因此FIR系统也称为FIR滤波器，同样，IIR系统称为IIR滤波器。

LTI系统的特征信号

用齐次性，可加性和时不变性来定义了一个LTI系统，用差分方程和单位冲激响应来描述了LTI系统。

复正弦信号是LTI系统的特征信号，即复正弦信号通过一个LTI系统后，其频率保持不变。频率不变性是LTI系统的特征，非LTI系统没有频率不变的特性。

将信号分解为多个复正弦信号之和，然后再研究系统对复正弦信号响应的研究方法，在信号处理中称为傅里叶分析。对信号和系统进行频率分析的工具是傅里叶变换。对信号的频率分析也称为频谱计算，对系统的频率分析也称为频率响应。

不管是在时域上将信号分解为单位冲激信号，然后用单位冲激响应来表征系统，还是在频域上将信号分解为复正弦信号，然后用频率响应来表征系统，所描述的问题具有等效性。

Z变换在时域分析，频域分析和解差分方程三种分析方法间架起了桥梁。从信号的单位冲激信号分解的角度，可以从时域来分析；如果从信号的复正弦信号的分解角度，可以从频域来分析；当然也还可以直接利用解差分方程的方法来分析。用Z变换的方法，一个LTI系统的特性可以用传递函数H(z)来描述（这是因为一个LTI系统的单位冲激响应h(n)就可以完全表征系统本身）。

Z变换，Z逆变换，系统传递函数(单位冲激响应h(n)的Z变换，h(n)的傅里叶变换叫做单位冲激频率响应)，

通过Z变换，将系统输入/输出关系由复杂的求和变成了简单的相乘。给系统的分析带来很大的方便。Y(z)=X(z)H(z)

由传递函数H(z) = N(z)/D(z)知，除了常数K之外，整个系统函数可以由它的全部零、极点来唯一确定。这里的零、极点可能是实数，纯虚数或者复数。零、极点若为虚数或者复数，则一定共轭成对出现。

将系统函数的零，极点全部标注在z平面上得到的图形，称为系统的零极图。单位圆即|z|=1.

1. 从零极图看单位冲激响应（H(z)是h(n)的Z变换）

系统的零极图可以很直观的反映单位冲激响应h(n)的形状。

当极点在单位圆内时，h(n)随着n的增加而逐步衰减；当极点在单位圆上时，h(n)为常数；当极点在单位圆外时，h(n)随着n的增加而不断放大。注:当极点为负数时，会导致h(n)在正数和负数之间交替变换。单位冲激响应h(n)的形状主要由极点决定。、

2. 从零极图看系统因果性

对因果系统而言，只要H(z)确定，其极点也就确定了进而也就确定了收敛域，可以得到唯一的h(n)。

3. 从零极图看系统稳定性

只有当H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1时，h(n)绝对可和，这时系统就是稳定的。所有极点在单位圆内，此时h(n)绝对可和，从而系统稳定。

系统频率响应

复正弦信号是LTI系统的特征信号(即特征向量)，其对应的特征值称为系统的频率响应，即h(n)的离散时间傅里叶变换。

频率响应H(ejw)一般为复数，可用实部和虚部表示，或者用幅度和相位来表示。

h(n) 完全表征了LTI系统的时域特性，H(ejw)完全表征了LTI系统的频域特性。

1 幅频响应

表征的是系统对不同频率信号幅度的放大或衰减。幅频响应越大，则对应频率信号的选择性越好，此时信号能更好的通过系统；幅频响应越小，刚好相反。幅频响应是周期性的，周期为2π。一般是偶对称的。

在工程实际中，幅频响应通常以dB为单位。在分析具体问题时，通常只考虑一个周期内的幅频响应，这是因为采样定理保证了有用的信号频谱都在一个周期内。

2 相频响应

表征的是系统对不同频率信号相位的超前或者滞后。以2π为周期。一般是奇对称。具有一个显著的特点是具有模糊性，而且模糊的周期是2π。对于模糊造成的相频响应曲线的不连续，也可以通过数学上称为解缠绕的方法，得到连续的相频响应曲线。

从物理上，相频响应反映了系统对不同频率信号的处理时间，但不是说相频响应越大，系统的处理时间越长。相位不仅和时间有关，还和频率有关。在信号处理中，群延时(Group Delay)是用来表征系统延时时间的另一个概念。相频响应反映的是系统对输入信号延时的相对值，群延时反映的是系统对输入信号延时的绝对值。对于频率成分比较复杂的信号，相频响应为常数反而会造成信号的失真；群延时为常数的系统不会对信号产生失真。

在实际的信号处理中，群延时往往是用来衡量系统对输入信号是否产生失真，因此有的地方也称为包络延时。相频响应是一个比群延时内涵更宽泛的概念。如果群延时为常数，则对应的相频响应有，这样的形式，称为系统的线性相位。

3 Z变换与频率响应

频率响应是系统函数的一种特殊情况，频率响应H(ejw)就是系统函数H(z)在单位圆z=ejw上的取值，即H(ejw)= H(z)。

More：通过傅里叶变换计算得到的系统频率响应物理意义明确，并且能完全反映系统在频域的特性。但傅里叶变换最大的问题在于其收敛的条件比较苛刻，对离散信号和系统而言，只有在时域内绝对可和的信号才存在。为了解决傅里叶变换收敛条件苛刻的问题，引入了Z变换。在进行信号和系统的分析过程中，可以先得到Z变换这种更普遍的结果，然后再得到傅里叶变换这种特殊结果。

LTI系统的向量理解（借助零极图来大概地了解系统的频率响应）

向量的长度表示复数的幅度，向量和实轴的夹角表示复数的相位。复数的向量表示完全表征了一个复数(频率响应通常为复数)的全部信息，向量使得复数的表示和运算都非常的直观。

接近单位圆的零点会引起在这个点附近的单位圆上的频率的幅度响应变小；与此相反，接近单位圆的极点会引起在这个点附近的单位圆上的频率的幅度响应变大。零点影响幅度响应的谷值及形状，极点影响幅度响应峰值及尖锐程度。

借助向量，在零极图上可以很容易由系统函数H(z)得到系统频率响应的定性分析结果。由初步分析得到的系统频率的幅频响应就大概了解了系统的部分特性。

两种特殊LTI系统的分析

1 全通系统，即系统频率响应|H(ejw)|对于所有频率w均为常数。

为0的极点对幅度响应没有任何影响，影响的只是相位响应（此时向量长度恒为1）。除了零极点在相同的位置两者能够抵消之外，零极点关于单位圆共轭倒置的时候在幅度响应上也能抵消。

2 最小相位系统

所有的零、极点都位于单位圆内的系统。相频响应的变化越小越好。

当系统的所有零点都在单位圆内时，ω沿单位圆逆时针旋转一圈导致的相位变化为0，这个变化显然是最小的，此时的系统称为最小相位系统。单位圆内外的零点引入的相位变化要大于单位圆内的零点。

最小相位系统要求极点都在单位圆内的原因是考虑系统的稳定性，要求零点在单位圆内，是考虑所带来的相位变化最小。

极点虽然也可以影响相位，但因为极点和系统的稳定性密切相关，因此如果想调整系统的相位特性，一般很少从极点的角度考虑。这种情况下，往往是通过调整零点位置来实现系统的相位调整。零点越多的话，系统的延时越厉害。

正因为最小相位系统具备逆系统的稳定性，很多时候我们希望将系统中的最小相位系统部分分解出来，并且不破坏系统的幅频响应。这种分解很方便地用全通系统零极点关于单位圆共轭倒置的特性实现。数学公式表示如下：

H(z) = Hmin(z)Hap(z)，其中Hmin(z)表示H(z)幅频响应相同的最小相位系统，Hap(z)表示全通系统。