原创 关于FFT的结果为什么要除以N

http://www.chinavib.com/forum/viewthread.php?tid=23665&highlight=

关于这个问题，我看到的书好像都没有进行解释，这里我试着解释下：
首先，离散付立叶变换的定义本身比连续付立叶变换少了一个dt(采样时间间隔）；
然后，对于单频率成分的信号来说，经过矩形窗截断后的频谱在其信号频率处将放大T（做谱时间长度）倍，同样，对于相隔较远的多频率成分信号来说，相应的频率成分的幅值均将因截断而被放大T倍。
综合考虑这两种原因的话，也就是说我们用FFT做出的谱实际上是放大了T/dt=N（做谱点数）倍，因此，必须将此结果除以N。
以上是对于单频率或相隔较远的多频率成分信号而言的，其他的情况得具体问题具体分析了，如加的是其他窗，就要考虑幅值恢复系数。密集频率成分的考虑等等。
--------------------------------

解释的有道理，不过我感觉之所以除以个N，是因为我们在进行离散傅立叶变换时，是连加的，将所有采样的点都加在了一起，所以最后要除以N，不知说得对不对。
-----------------------------

一开始也是这么想的,可后来觉得这样解释不对.
因为有时这样解释是不对的,例如你构造一个低通滤波器序列,照这样解释的话它的频谱同样得除以N,但事实上并不需要,这主要的原因就是它本身是一个连续频率成分.
------------------------------
对于单频率的信号，经过矩形窗截断后，在频谱上为什么要乘以2/N来求得该信号的幅值，这可以经严格的数学推导得出的，它是由sinc函数产生的。现把它的推导过程列于下：---图片见原帖
--------------------------

FFT是个算法，至于点数N的处理，有些教科书上是除在FFT上，有些是除在IFFT上，因为FT是个变换，所以要保证 x=IFFT( FFT(x) )成立。

具体的计算公式还是要去研究DFT的一些东东，请楼主不妨参考一下这篇文献： 严普强等，动态测试信号处理中时-频域变换算法的讨论，振动测试与诊断，23（2），2003：120-124。 对傅氏变换，傅立叶级数等一些基本概念做了比较详细的讨论
---------------------------

除以N，是为了傅立叶逆变换的时候在数值上相应，其实对于分析来说意义并不是很大，所以除跟不除以N关系不是很大
------------------------------------------------

怎么一会N一会N/2??
----------------------

“2”是做单边谱的时候用。
---------------------

当输入样点数据为实数时除以2/N
当输入样点数据为复数时除以N
-----------------------

求有效值必须除以N
----------------------

不要先想DFT，先看看原始的傅里叶级数和傅里叶变换的公式，自己动手推导一下DFT就知道为什么要除以N了，注意，除以N得到的是双边谱幅值
----------------------

    根据楼上的说法，除以N得到的双边谱，除以N同时乘以2得到的是单边谱，是这个意思吗？？
是的。双边谱意味着有正负频率，只有数学意义，一般可以叫做数学谱；单边谱只有正频率，叫物理谱，一般具体工程问题的谱，都是指物理谱。
-------------------

下面是另一个关于功率谱和功率谱密度的讨论的帖子：
http://www.chinavib.com/forum/thread-26594-1-123.html

对信号加汉宁窗是为了截取1024个样值，再做DFT变换成幅度谱，取绝对值再平方是求频率线上的能量（还是功率？搞不清），为什么要除以1/N？最后为什么会产生512条频率线？请指教！
-------------------------------

加汉宁窗不仅是为了截取,同时还是为了减少泄露和干涉.
为什么要除以N,和为什么产生512条谱线,可参看本版其他帖.
还有这个公式求功率谱有问题,应该再乘上汉宁窗的能量恢复系数1.633
-------------------------------

看了论坛上的其他帖子，可是依然很混乱，资料上给出的这个公式说是求功率谱密度的，可是对它的意义还是不十分了解。
先结合我在论坛上看的功率谱方面的帖子，总结以下几点吧：
1，功率谱密度==功率谱；
2，分析功率有限信号采用功率谱，能量有限信号采用能量谱；
3，分析确定信号用频谱，分析随机信号用功率谱；
4，我们所说的“频谱”大部分指的是幅度谱（双边谱），是对信号做了DFT或FFT后得到的；
5，对幅度谱（双边谱）平方后乘2可转化为单边谱；
6，求功率谱（功率谱密度）是将DFT或FFT后的结果平方；


问题是：
1，对于确定信号，幅度谱是否等同于功率谱（即直接作DFT或FFT变换就可得到）？
2，对于随机信号，功率谱采用直接法是做DFT或FFT后绝对值得平方除以N?
3，功率谱求出的幅度是相对值，转化为绝对幅度的方法到底是除以采样频率还是频率分辨率？
以下问题针对附件给出的公式：
4，若用fft函数怎样求出512条谱线？
5，对于用1024点DFT变换作出的512条谱线的含义，为什么不作成1024条？

请大家来指点一下，如果有不对的地方希望提出！
----------------------------------------

回答:1 功率谱是幅度谱的平方(会相差一个系数)
         2 可以这样做
         3 取决于你功率谱的求法,不好回答,方法很多的.
         4 512条是你具体问题中的出现的,不是必然
         5 1024点DFT后关于原点对称,是双边谱,而我们只用单边谱,故只有一半的点数
---------------------------------------

但是对于式子里出现的1/N还是不清楚，查了一些资料，功率谱密度是DFT,FFT后绝对值的平方，那1/N的出现是什么意思呢？
------------------------------

这里给出的功率谱（密度）都是相对值，功率谱计算的方法之一是由FFT后的谱线平方来得到。但作FFT时，有的在FFT的公式中乘以(1/N)，因此在你的式子中就有了(1/N)这因子，也有人把这因子放在IFFT中，这时表示出的功率谱计算中便没有这个因子。