原创 由DFT来分析模拟信号频谱的过程之我的理解

   所谓信号的频谱，就是信号的傅里叶变换，就是信号的频域特性。

       我们知道，连续时间信号的傅里叶变换所得信号的频谱函数是模

拟角频率Ω的连续函数；而对连续时间信号进行时域采样所得序列的

频谱是数字角频率ω的连续函数。而将采样序列截断为有限长序列后

做离散傅里叶变换是对被截断后序列频谱函数的等间隔采样。由于

DFT是一种时域和频域都离散化了的变换，因此适合做数值运算，成

为分析信号与系统的有力工具。

   但是，用DFT对连续时间信号做频谱分析的过程中，做了两步工

作，第一是采样；第二是截断。因此，最后所得到的离散频谱函

数和原连续信号的连续频谱肯定存在误差。下面我们就来分析这

些误差究竟产生在哪些地方。

   首先由傅里叶变换的理论可知，对于模拟信号来说，若信号持续

时间有限长，则其频谱无限宽；若信号的频谱有限宽，则其持续

时间无限长。所以严格来讲，持续时间有限的带限信号是不存在

的。

   实际中，对频谱很宽的信号，为防止时域采样后产生频谱混叠，

先用采样预滤波的方法滤除高频分量。那么必然会导致滤波后的

信号持续时间无限长。

      设前置滤波器的输出信号为x_a(t)，其频谱函数X_a(jΩ)，它们都

是连续函数，其中x_a(t)为无限长，而X_a(jΩ)为有限长。

       首先对该信号作时域采样，采样周期为T，将得到离散的无限

长的序列x(nT)。由于习惯上描述序列的频谱时用ω作为频率变

量，因此必须探寻x(n)的频谱X(e^jω)与x_a(t)的频谱X_a(jΩ)之间的关

系。理论上已推得，X(e^jω)就是X_a(jΩ)以2π/T的周期延拓后再将频

率轴Ω作T倍的伸缩后得到的图形再乘以一个常数1/T得到。也就是

                                   X(e^jω)= X(e^jΩT)=1/T*∑X_a[j(Ω-k*2π/T)]

      这一个过程中，只要采样频率足够大，即T足够小，理论上是

可以保证无混叠的，也就是能由序列的频谱X(e^jω)完全恢复模拟信

号的频谱X_a(jΩ)。

       但是，计算机只能处理有限长的离散信号，因此x(nT)是无法被

数字计算机处理，必须对采样序列进行第二步处理，即截断成为

有限长序列。截断即为加窗处理，我们假设用的是矩形窗，长度

为N，理论上已推得，对序列作截断处理后，会造成X(e^jω)频谱泄

露，也就是过渡带出现拉长、拖尾现象；通带内出现起伏，可能

出现混叠失真，因为泄露将会导致频谱的扩展，从而使最高频率

有可能超过折叠频率（fs/2）。那么此时，序列被截断后，频谱已

必然出现失真。但是只要N选得足够大，误差是可以接受的，但是

N的增加会导致数据运算量和存储量都增加。

      数据被截断后，就可以被计算机做DFT处理了，而有限长序

列的DFT就是序列的z变换在单位圆上的等间隔采样。因此，我们

通过DFT来显示的频谱是被截断后序列傅里叶变换的采样值，这

个频谱已不是原来连续信号的频谱了。但是，我们可以根据DFT

的结果X(k)完整还原被截断后序列的傅里叶变换（频域抽样定

理），然后再由有限长序列的傅里叶变换来近似表示无限长序列

x(nT)的频谱X(e^jω)，然后再由X(e^jω)还原x_a(t)的频谱X_a(jΩ)。