原创 IIR滤波器设计方法

      Impulse invariance, Bilinear transformation。
      首先要明确一点，我们是单纯地设计数字滤波器，和采样模拟信号没有任何关系，滤波器的指标也是直接从数字域给定。

      但是历史上前人积累了很多模拟滤波器设计的经验和数据，我们能否拿来用呢？比如，现在要设计数字低通滤波器，可不可以当做设计模拟低通来设计？（因为有多个模拟低通原型滤波器的参数都被做成了表格了，直接查表就能得到）。这就好比新中国初期大量借鉴苏联老大哥发展模式一样。

 好了，如果要借鉴模拟滤波器设计的方法，那就要解决数字角频率w和模拟角频率Ω的对应关系。再强调一遍，这里数字角频率并不是由模拟信号采样得到，我们只是来寻求一种能够把两个频率对应起来的方法。如果我们先设计一个模拟滤波器，然后由这种对应关系来直接得到我们想要的数字滤波器，那不是很爽！当然我们最容易想到的就是线性关系的一一对应，也就是w与Ω是线性一一对应的关系（后面我们将会看到我们的愿望要落空）。

 一说到线性对应，马上就联想起采样定理，虽然采样定理并不是要设计数字滤波器，也不是预先就知道采样序列的数字频率和被采样信号的模拟频率有线性的对应关系w=Ω*T，但有什么办法呢，事实上它就是线性对应！这对于我们设计数字滤波器来讲真是个好消息！它给我们指明了一个方向，那就是要想w和Ω是线性对应，那就把数字滤波器的频响（数字信号）当做模拟滤波器的频响（模拟信号）的采样就行了！即h[n]=h(nT).当然，为了不产生溢出后面做了修正h[n]=T*h(nT)。所以说我们才说，冲击响应不变法是从时域出发来设计数字滤波器的。

但是，冲击响应不变法既然利用了采样定理的理论，那么就必须受到采样定理的限制！因为采样定理的w与Ω间的线性对应是有条件限制的，即原始模拟信号必须是限带的！即Ω在大于某一值以后，H(jΩ)=0。否则就会产生混叠。（用数学来描述就是：s平面与Z平面的映射是多对一的映射，即s域的一个带映射成z域的一个平面，也即是Ω与w不是一一对应，这里还要注意的是虽然w=Ω*T，但s平面到Z平面的平面映射绝不是线性映射，而是 Z=e^(s*T)，因为Z=e^(jw)而不是Z=jw  !!!）。而实际上的完全限带的信号是不可能的。更甚者，我们需要有些模拟信号绝对不能限带，比如模拟高通滤波器和带阻滤波器的冲击响应h(t)。因此如果利用模拟高通和模拟带阻的Ω来与数字w对应，当然也可以从形式上映射成一个数字滤波器（Ω与w线性对应嘛），但是设计出来的数字高通和数字带阻就面目全非了！

基于上述原因，就产生了双线性变换法。双线性变换法要解决的问题有：1.要能设计高通和带阻滤波器 2.同样要完成w与Ω的一一对应。问题就来了。数字角频率w的有效取值范围只有2π，而模拟角频率Ω的取值范围有-∞到+∞，读过高中的人马上想起了一个三角函数y=arctan(x)，定义域为-∞到+∞，值域就能为-π/2到π/2！(前面乘以一个系数2不就成-π到π了？！！)但是问题马上产生了，一个有限的范围要与一个无限的范围一一对应，那么对应就无法实现线性了！双线性变换法就是以牺牲线性来实现Ω到w的一一对应的！

我们最初的愿望是想办法实现Ω与w的线性一一对应（记住Ω的范围可以是-∞到+∞，而w的有效范围只是任意的一个2π区间）。现在我们知道这个愿望是落空了！要线性就无法一一对应，要一一对应就无法实现线性！这就是冲击响应不变法和双线性变换法的各自特点。