状态转移矩阵（STMs）是线性微分方程的齐次部分的解。
线性微分方程是指：
它的齐次部分指：
解齐次部分要比解整个方程容易，齐次部分的解可以用来解非齐次部分。
Φ(t)被称为齐次方程的基本解，如果它满足下面的条件：
其中，I是nxn的单位矩阵。
对于任何可能的x(0)来说，都有如下表达式成立：
所以，如果我们想知道从某个0时刻开始的x(t)，只需要知道Φ(t)即可：x(t)=Φ(t)x(0)
如果是离散线性系统，则有：
对于离散线性系统来说，Φ是它的状态转移矩阵（STM），C是输入耦合矩阵。
为什么Φ被称为状态转移矩阵？因为已知了x(0)和Φ(t)，我们就能知道x(t)。
Φ将0时刻的状态，转移到了t时刻。
假如不是从0时刻开始，而是从τ时刻转移到t时刻？我们有如下表达式成立：
Φ有下面这些特征：
这些特征不难想象，使用实际的物理现象也很容易印证。
例：如何求解弹簧阻尼振荡器的状态转移矩阵Φ？
解：对于一个弹簧阻尼振荡器来说，我们已有它的F矩阵表达式：
F表达式由牛顿力学导出，x表示位移，x的导数表示速度。
对于一个简单的线性动力系统，获取F矩阵非常容易，如果不会的话，让牛顿的苹果砸一砸先^_^
然后，求解λI-F的行列式：
乃们还记得行列式是怎么求的么？
对于2x2和3x3矩阵分别有：
所以，对于这里的λI-F有：
此二次多项式的根：
接下来，我们使用δ来表示位移，则x矩阵可以表示为：
δ可以写成通用形式：
对于一个欠阻尼系统，有下面的表达式成立：
阻尼为0的振荡器，会永远振荡下去。
过阻尼的振荡器，会因为阻力过大而回不到平衡位置。
欠阻尼的振荡器，会因为阻力很小而越过平衡位置，但是振动幅度越来越小。
欠阻尼系统的δ是非实数，所以又可以写成：
这里的a和b是实数。
再获取x矩阵：
我们可以使用初始化的值求解a和b：
最后得出来状态转移矩阵Φ：
所以，求解弹簧阻尼振荡器的状态转移矩阵的基本步骤是：
先通过牛顿力学方程建立F矩阵表达式；
然后求解λI-F的特征值，以及特征值的二次项平方根；
接着使用特征值表示x矩阵，通过初始化条件求解参数a和b；
最后代入a和b，求得状态转移矩阵。
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