标签: 卡尔曼滤波

卡尔曼滤波器，不仅仅是一个低通滤波器，否则也不会持续发展 50 年。 示例：桑先生需要测试高速列车的性能。测试的目的是判断列车在直线上能否保持 80m/s 的速度。速度和位置每 0.1 秒测量一次，但是由于速度传感器的数据丢失，桑先生只能通过位置数据来得出速度值。 直接上 Python 代码： 运行结果： 蓝色点：滤波前的位置数据。 紫色线：滤波后的位置数据。 红色线：滤波前的速度数据。 青色线：滤波后的速度数据。 结论： 1.Python的Numpy库用作矩阵运算，语法和Matlab有差异，所以需要确认语法细节。 2.卡尔曼滤波器的系统建模非常重要，完成了系统建模，也就完成了滤波器的一半设计。

《Kalman Filtering: Theory and Practice Using MATLAB》第三章，看不懂，暂时略过。 《Kalman Filtering: Theory and Practice Using MATLAB》第四章，看不懂，暂时略过。 由于《Kalman Filtering: Theory and Practice Using MATLAB》的阅读难度超出了本人能力，所以从本文开始，暂时记录《Kalman Filter for Beginners: With MATLAB Examples》的阅读笔记。本书的前九章是理论准备： Part I. Recursive Filter Chapter 1. Average filter Chapter 2. Moving average filter Chapter 3. Low-pass filter Chapter 4. Summary of Part I Part II. Theory of Kalman Filter Chapter 5. Introduction to Kalman filter Chapter 6. Estimation process Chapter 7. Prediction process Chapter 8. System model Chapter 9. Summary of Part II 前九章的阅读难度不大，先通读一遍。本笔记从第十章的示例开始。 Part III. Examples Chapter 10. Extremely Simple Example 桑先生需要测试一辆电动汽车的电池。由于严重的噪声，他每次测量的电压都有较大差异，于是桑先生决定使用卡尔曼滤波来去除噪声。采样周期为0.2秒。 使用Python实现代码： 运行结果： 另外，如果我们将K和P打印出来，会发现它们持续减小，直到稳定在很小的值上。这意味着，滤波器倾向于采用上一轮的估计值，而不是新的采样值。

可观测性是指，在给定模型的情况下，动力学系统的状态是否由它的输入输出唯一确定。 可观测性是系统模型的特征。 如果传感器矩阵H是可逆的，则本系统可观测，因为有： 如果传感器矩阵H某些时候是不可逆的，则本系统仍然可以是可观测的，如果格兰姆矩阵determinable. 格兰姆矩阵又称为可观测性矩阵，它的连续/离散表达式为： 从上面的表达式可以看出，可观测性和u、C、D无关，只和 Φ、H相关（ Φ只和F相关 ）。 x(0)时刻的可控制性是指，存在分段连续的u(t)，使得状态矢量x(0)能够转移到x(tf)。 系统的可控制性是指，任意的x(t0)都是可控制的。 对于连续系统，模型为： 如果下面的S矩阵有n个线性不相关的列，则认为它可控制： 对于离散系统，模型为： 如果下面的S矩阵有N个线性不相关的列，则认为它可控制：

如果我们仅仅对离散线性系统感兴趣，那么就使用下面这个表达式： 如果u是常量，那么可以写成： 为了简化表达式，我们可以将上面写成： 离散 线性时不变系统的 Φ求解，可以使用Z变换。 （* 由于本人已经忘记了Z变换的内容，因此本节待续。）

对于线性时变/时不变系统，求解 Φ(t)有多种方式，拉普拉斯变换是其中一种。 （* 由于本人已经忘记了拉普拉斯变换的内容，因此本节待续。）