原创 [博客大赛]Costas序列de应用研究 二

如果新增加的1单元格与原来n个1单元格之间的n个向量与原n阶Costas序列的向量都不相同，则可由n阶Costas序列增加一行和一列得到n+1阶Costas序列。例如，某些素数阶的Costas序列可以由低一阶的Welch Costas序列用这种方法来获得。

      需指出的是：

      a) 对于给定的n，当Welch Costas序列或GolombCostas序列存在时，Welch Costas序列或Golomb Costas序列不一定是全部的n阶Costas序列；

      b) 在实际应用中，若不能应用有限域理论构造n阶Welch-Costas序列或Golomb-Costas序列，此时可以采用穷举法在n!个n阶置换矩阵中 搜索Costas序列，搜索的方法可以采用计算置换矩阵的校验矩阵的方法，为了减小计算工作量，可以利用校验矩阵的性质简化计算。对于较大的n，用穷举法 搜索Costas序列的工作量巨大，所以是不实用的；

      c) 当n>25时，其Costas序列的数量将显著减少。特别地，当n趋于无穷大时，Costas序列数趋于0。

      d) 我们还不能回答，当n满足什么条件时，不存在Costas序列，但当n=32、33或43时，不存在Costas序列。

      4 信号的模糊函数

      设u(t)为复包络，令

x(τ，fd)称为信号u(t)的模糊函数。

x(τ，fd)沿着fd=0的截面为：

x(τ)称为信号的距离模糊函数。

      由式(4)可知，x(τ)为信号的自相关函数，对能量型信号，其傅里叶变换存在，信号自相关函数的傅里叶变换等于信号傅里叶变换幅值的平方，即信号的能谱 密度。对功率型信号，当信号的自相关函数绝对可积时，信号自相关函数的傅里叶变换等于信号的功率谱密度。雷达信号在频域上占据的频带越宽，则其距离分辨力 越好。

x(τ，fd)沿着τ=0的截面为：

x(fd)称为信号的速度模糊函数。

      由式(5)可知，s(fd)为信号复包络模(实包络)平方的傅里叶变换，换句话说，速度模糊函数只与信号的幅度有关，而与信号的相位和频率调制无关。雷达信号在时域上持续宽度越大，则其速度分辨力越好。

      当u(t)为离散数字信号时，u(t)=u(nTs)=u(n)(n=0，1，…，M-1)，Ts表示采样周期。对于给定的τ=m(-M+1≤m≤M-1)，设fd=△f·k= ，式中fs=1／Ts表示采样频率，代入模糊函数定义式(3)中，得

      5 FHSS信号与Costas序列信号

      单位能量FHSS信号的复包络可表达为：

      式中：y(k)称为跳频算子；B表示信号占据的频带宽度；频隙Fb=B／N，Tb表示时隙，信号占据的时域宽度T=NTb。第k个时隙发送信号的中心频率为fc+fk。为防止子脉冲频谱发生交叠，频隙应不小于子脉冲的频带宽度。

      当y(k)为N阶Costas序列的放置函数时，上式表示的FHSS信号即为按照Costas序列构成方法进行FHSS的信号，这种信号具有理想的模糊函 数性能。对子脉冲为恒载频的Costas序列跳频编码信号，θk(t)=0；对子脉冲为LFM的Costas序列跳频编码信号，

      6 多目标散射和多路径传输环境的数学模型与雷达信号设计

      设雷达发射信号为u(t)，假设散射目标为多个点目标，信道为AWGN(加性白高斯噪声)信道，则接收信号为：

      式中：z(t)为零均值加性复高斯白噪声过程；

      αi(t)、τi(t)和wi(t)分别为第i条路径的衰减因子(以t为变量的复随机过程)、传播时延和多普勒角频率。

      若散射目标不是点目标，则可将v(t)看做由连续多径分量组成的，此时：

      式中：c(τ，t)是信道时变冲激响应h(τ，t)的复包络(等效低通时变冲激响应)；h(τ，t)表示在t-τ时刻施加的单位冲激在t时刻的信道响应。当存在大量路径时，应用中心极限定理，c(τ，t)可建模为一个以t为变量的复高斯随机过程。

      若信道为非时变的，则

      如果将目标散射电磁波看成是信道的特性，那么对目标的探测就可等同于对信道特性的检测。因为信道是随机时变的，所以要研究能表征其统计特征的物理量--散 射函数。散射函数与信道等效低通冲激响应(信道冲激响应的复包络)的频移、时移自相关函数具有双傅里叶变换的关系。散射函数是时延τ和多普勒频率φ的函 数，它表征了信道平均输出功率的量度，在多目标散射和多径传输的信道中，对目标的检测可归结为对信道的散射函数的检测。文献[9]给出了匹配滤波器输出的 平均信号干扰比的数学表达式，如果信号的模糊函数具有二维δ函数的特性，那么匹配滤波器的输出即为信道的散射函数。

      所以为了正确检测出目标，要求信号的模糊函数具有二维δ函数的针状特性：主峰尖锐，且模糊体积很小。但事实上，这样的信号是不存在的，由模糊体积不变性知 道，任何调制都不能改变模糊曲面下的总容积，该容积只决定于信号的能量，而与信号的形式无关。Costas序列信号的模糊函数具有"图钉状"的特性：主峰 尖锐，副峰很小，由图1可知，Costas序列信号的模糊体积不会减小。为了解决这个问题，可用2个信号来代替1个信号，即在同一个重复周期内，发射2个 不同的Costas跳频编码序列信号，因为2个信号模糊函数的副峰不会都出现在同一个位置，所以在接收端可通过综合2个信号的信息使2个信号模糊函数的边 瓣相互抵消，从而获得主峰尖锐且模糊体积很小的针状特性。

      在同时使用多个同阶Costas跳频编码序列信号的多用户雷达系统中，需要减小各信号之间的互相关，多用户系统中雷达信号设计问题，限于篇幅，本文不再讨论，有关这方面的内容参见文献[3]。

      7 计算机仿真结果

      有限域GF(11)上共有4个本原元，分别为2、6、7和8。其中，2和6为一对互逆的本原元，7和8为另一对互逆的本原元。

      本文给出利用GF(11)上本原元α=2和β=6生成的2个Welch Costas序列信号的自模糊函数、自相关函数、离散傅里叶变换、互模糊函数以及采用双信号发、收的计算机仿真结果。在图2～图4中：τ为时延，fd为多 普勒频率，Tb为时隙，T为信号时域长度。

      图2表示子脉冲为LFM矩形包络的脉冲信号，子脉冲的带宽时宽乘积BT=5.76。为了满足奈奎斯特(Nyquist)取样定理，采用N=128点，用 10段调频序列，调频范围分别是 0.045～0.09，0.135～0.09，0.135～0.18，0.225～0.18，0.225～0.27，0.315～0.27，0.315～0.36，0.405～0.36，0.405～0.45，0.495～0.45(归 一化频率)，