原创 [博客大赛]Costas序列de应用研究

1 Costas序列的概念

      设P为n阶置换矩阵，若序列P的(离散)自相关函数R(τ，d)副瓣的最大值不大于1，则称置换矩阵P为n阶Costas矩阵，序列P称为Costas序列。

      图1为线性调频信号与Costas信号及其离散自相关函数的图形。其中：图(a)为正斜率的线性调频信号，图(e)为其离散自相关函数；图(b)为负斜率 的线性调频信号，图(f)为其离散自相关函数；图(c)为6阶Costas信号，6阶Costas序列可用有限域理论生成，其本原元为α=3，放置函数 为：y(k)=αk(mod7)，k=1，2，…，6，图(g)为其离散自相关函数；图(d)为7阶Costas信号，图(h)为其离散自相关函数。

      由图可知：

      a) 线性调频信号的离散自相关函数具有较高的副瓣，而Costas信号离散自相关函数副瓣的最大值为1。

      b) 在图(e)(或图(f))中，副瓣的总和为：2(5+4+3+2+1)=30，在图(g)中，副瓣的总和(即1的个数)为：6(6-1)=30。还可以发 现，在图(e)(或图(f))中每一行(或列)副瓣的数值与图(g)中对应的行(或列)副瓣1的和相等。由模糊体积不变性原理，可以知道任何调制都不能改 变模糊曲面下的总容积。

      该容积只取决于信号的能量，而与信号的形式无关，但可选择适当的信号形式，也就是选择不同形状的模糊曲面，使其与特定的目标环境图相匹配，以实现在所需要 分辨目标的区域，使模糊图的体积分布小些，从而提高分辨力。例如：可以采用非线性调频信号来改善线性调频信号的副瓣性能和提高多普勒灵敏度，从这种意义上 说，可以认为Costas信号是一种特殊形式的非线性调频信号。其模糊函数图形具有像相位编码信号一样的"图钉状"特性。在时域宽度一定的情况下，信号按 照Costas序列构成方法进行FHSS，利用Costas序列特殊的序列结构，以及信号频谱的扩展换取了信号理想的模糊函数性能。Costas序列特殊 的序列结构可使模糊函数的副峰低而平坦，信号频谱的扩展可使模糊函数的主峰高而尖锐。

      判断n阶置换序列P是否为Costas序列，需要计算序列P的自相关函数，当n较大时，计算工作量是很大的。利用有限域理论，能够快速构造Costas序列。

      2 有限域简介

      具有有限个元素的域称为有限域，有限域又称为伽罗瓦(Galois)域，将q阶有限域记作GF(q)。

      任何两个元素个数相同的有限域是同构的。两个同构的域，如果不管它们的实际背景而只考虑它们的代数性质，可以将它们等同起来看做一个域。

      GF(q)(q<∞)，有两种类型：

      a) 包含q=p个元素，p为一个素数，这种域同构于整数模p的同余类域Zp。

      b) 包含pn个元素，p为素数，n为大于或等于2的整数，称为GF(p)的扩域GF(pn)。

      GF(pn)(n≥2)可看成一个多项式环，多项式的最高次数为(n-1)，多项式的系数为Zp的元素，环中的运算为模f(x)的多项式加法和乘法，其 中，f(x)为Zp上的任一个n次不可约多项式(即f(x)的所有根都不在Zp上)，则这个多项式环就是有限域GF(pn)。

      GF(p)的扩域GF(pn)又是Zp上的n维线性空间，因此存在一组基ul，u2，…，un，使F={a1u1+a2u2+…+anun|ai∈Zp，1≤i≤n}，所以F中元素个数(即F中元素在基u1，u2，…，un下坐标组的个数)为： 。

      GF(pn)的非零元的集合GF(pn)*是一个乘群，GF(pn)*的生成元又叫本原元。

      3 Costas序列的代数结构

      设有限域GF(p)，p为素数，α为GF(p)的本原元，η为GF(p)的非零元，序列C为(p-1)阶置换矩阵，则序列C为Costas序列的充分条件是序列C的放置函数为：

 
      这种Costas序列称为Welch Costas序列，简称W-C序列。若η取为1，则y(k)≡αk(mod p)，本文中的Welch Costas序列都是指这种序列。

      设有限域GF(q)，q=pn，p为素数，n为自然数，α，β为GF(q)的本原元，序列C为(q-2)阶置换矩阵，则序列C为Costas序列的充分条件是序列C的放置函数为：

      上式也就是：若设序列C的单元格的坐标为(i，j)，则当αi+βj≡1(modf(x))时，在该单元格放置1。这种结构的Costas序列称为Colomb Costas序列。

      注意：当1≤i，j≤q-2时，αi+βj≡1一定成立。亦即： i，1≤i≤q-2， j，l≤j≤q-2，使得αi+βj≡1。

      事实上，因为α为GF(q)的本原元，所以GF(q)=GF(Pn)内的非零元素可表示为α的幂。又i≠q-1，所以αi表示最高次数为(n-1)的多项 式，且αi≠0，1。因此，1-αi表示GF(pn)内的非零多项式，且1-αi≠1，0。而β为本原元，所以一定存在唯一的j，1≤j≤q-2，使得 βi≡1-αi，即αi+βj≡1。

      若取α=β，则y(k)≡logα(1-αk)，这种结构的Costas序列称为Lempel Costas序列。

      在保持Costas序列的向量相对关系不变的条件下，可用对Costas序列进行左右翻转、上下翻转和顺(或逆)时针旋转的方法来获得新的Costas序 列，还可以用对某些高阶的Costas序列去掉一些行、列的方法来获得低阶的Costas序列。同样，在某些n阶Costas序列外角部位置增加一个1单 元格，