标签: 傅立叶变换

示波器的FFT功能简介 – 在开关转换器的设计、评估与侦错应用 现今的示波器除了能观察信号的时域波形之外，还能经由内建的快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform；FFT）功能观察信号的频谱。本文将介绍如何在示波器上设定快速傅立叶变换功能，并将此功能有效地应用于开关转换器的设计与侦错上。 一. 前言 现今在开关转换器的设计、评估及除错的过程中，若需使用到频域的量测，通常都会使用专用的仪器，如使用网络分析仪（Network Analyzer）量测转换器之环路增益（loop gain）和使用EMI接收机（EMI Receiver）量测转换器是否符合电磁干扰的相关法规等。 近年来随着示波器功能的提升，快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform；FFT）已是示波器的标准配备，使得电源工程师可以在一台示波器上同时观察讯号的时域波形及频域成份。藉由频域上分析电路的电压和电流波形，掌握突波（spike）的频率分布，可使电源工程师在解决EMI问题时，能针对特定频率去做改善。除此之外，透过示波器之FFT功能来观测电解电容的电流频谱，分离不同频率下的电容电流大小，也有助于预估电容之寿命。 本文将介绍何谓FFT及如何在示波器上设定FFT功能，并将以标准波形作操作示范。最后，将示范如何将FFT功能应用于电源供应器的设计与侦错上。本文中之示范操作皆使用Rohde & Schwarz公司的RTE 1054示波器，并搭配其所附之软件RTO Scan。 二. FFT介绍与示波器的功能限制 众所皆知，傅立叶分析可以对时域信号做频率拆解，其中离散的傅立叶分析可依据时域信号是否具有周期性，而分成离散时间傅立叶变换（Discrete Time Fourier Transform；DTFT）和离散傅立叶变换（Discrete Fourier Transform；DFT），由于DTFT转换出来的频域函数是连续频谱，这代表非周期性的时域信号需要由无穷多组不同频率的弦波组成，而DFT转换出来的频域函数则为离散频谱，可视为对DTFT出来的频谱作等间隔取样。在实际应用上，微处理器的内存有限，只能处理有限的数据量，所以微处理器在进行傅立叶变换时只能采用DFT的方式。而FFT则是能够有效降低DFT运算复杂度和运算时间的一种算法，至今被广泛的使用在各科学领域及示波器上。 本章节会介绍在示波器设定上会用到的名词、对应关系和设定上的限制，并以标准波形（正弦波与方波）使为操作范例。 1. 示波器的FFT功能与限制 图1为RTE 1054示波器FFT设定的用户接口，红框内的参数为一般示波器在使用FFT功能时需要设定的参数。其中，中心频率（Center frequency）、频率跨距（Frequency span）、起始频率（Start frequency）和终止频率（Stop frequency）之间有连动关系，因此只需设定中心频率和频率跨距。为兼顾FFT频谱的分辨率和振幅量测，将Window type设定为Hamming，而其余参数设定则将一一说明其功能。 图1、RTE 1054示波器FFT设定接口 A. 解析带宽（Resolution Bandwidth；Resolution BW；RBW） 解析带宽为FFT频谱之最小频率间隔（∆f），及决定FFT频谱的分辨率，模拟于时域波形中的取样周期（sampling time；∆t）；解析带宽越窄表示频谱的分辨率越高。而解析带宽与示波器时域波形的纪录长度，或称「撷取时间」（capture time）为倒数关系，所以调整示波器的撷取时间会改变解析带宽。 图2、FFT解析带宽示意图 B. 撷取时间（Capture time） 如上所述，撷取时间为示波器时域波形的纪录长度，即示波器屏幕上显示波形的时间总和，其值为时间档位（Time/div）乘上示波器横轴格数，且与解析带宽为倒数关系。 图3、示波器撷取时间示意图 C. 中心频率（Center frequency；fCenter）、起始频率（Start frequency；fStart）及终止频率（Stop frequency；fStop） 中心频率为FFT频谱中横轴所显示的中间频率值；中心频率、起始频率及终止频率关系可参考图4及式（1）。终止频率的设定需考虑到稍后介绍的取样率，简言之，需小于取样率的一半。 （1） D. 频率跨距（Frequency span） 频率跨距为FFT频谱显示的范围，也就是频谱中横轴所显示之终止频率（fStop）和起始频率（fStart）的差值，如图4所示。 图4、FFT频率跨距示意图 E. 取样率（Sampling rate；fSampling） 取样率和示波器之时域波形分辨率有关，如图5所示。取样率为取样周期（∆t）的倒数；取样率越高，取样周期即越小，示波器上所呈现的波形分辨率就越高。在使用示波器FFT功能时，必须注意奈奎斯特取样定理（Nyquist Sampling Theorem），即取样率需大于两倍的终止频率。 图5、示波器取样率示意图 了解上述名词之间的对应关系后，可以发现如果想要获得一个分辨率较高的FFT频谱，必须将示波器时间档位（Time/div）调大，以增加屏幕撷取时间，取得较窄的解析带宽。然而每一台示波器皆有最大取样点数（sampling point）之限制，例如本文中所使用的RTE 1054示波器之最大取样点数为40 MSa。 撷取时间的增加会造成取样点数增加，但若已达示波器之最大取样点数，由取样点数=撷取时间╳取样率的关系式，得知取样率则被迫降低。而当取样率被降低时，因为需符合Nyquist Sampling Theorem，可能会影响到FFT频谱之终止频率，进而影响到FFT频谱的中心频率和频率跨距的大小，使用上须特别注意这些设定。 举例来说，若要在一个最大取样点数为1 MSa的示波器上观察解析带宽为1 kHz的FFT频谱，由式（2）至（4）可计算出示波器的撷取时间至少要1 ms，取样率只能到1 GSa/s，而FFT频谱上的终止频率最高就只能到500 MHz。如果想要观察500 MHz以上的频率，就只能加大解析带宽或是使用拥有更大的最大取样点数的示波器。 （2） （3） （4） 2. 标准波形的FTT范例 标准波形FFT实验皆使用Tektronix AFG3021B波形产生器产生频率100 kHz、峰至峰值400 mV之正弦波和方波作观察。从正弦波的FFT频谱，可以厘清示波器纵轴单位是采用波形电压的峰值、平均值或方均根值做计算；而方波的FFT频谱则可用来观察不同的上升、下降时间对波形在频域的影响。 A. 正弦波 使用示波器观察正弦波FFT频谱，假设频谱之解析带宽为5 kHz，频谱范围设定在10 kHz到30 MHz。首先，根据解析带宽可以推算出示波器的撷取时间为200 µs，因此示波器的时间档位至少要20 µs/div。由频谱范围可以观察到频率跨距约为30 MHz，中心频率约为15 MHz，为满足Nyquist Sampling Theorem，取样率至少要60 MSa/s。图6为正弦波之FFT频谱，从图上可以观察到主要频率成份确实是在100 kHz，其幅值为 （5） 由上述计算可得知示波器频谱上所示之纵轴幅值是采用信号之方均根值做计算。 图6、正弦波频谱 B. 方波 固定示波器FFT设定，由波形产生器产生一工作周期50 %的方波，并将方波之上升时间（tr）及下降时间（tf）设定至波形产生器之最小值（18ns）。图7为此方波之FFT频谱，可以观察到方波之频谱包络（spectral envelope）线在中低频时，以-20 dB/dec的斜率衰减；当频率大于转折频率（fc）时，则会以-40B/dec的斜率降低。其转折频率之计算公式为 （6） 将方波之上升、下降时间代入上述公式，可以计算出上升、下降时间为18 ns的方波转折频率（fc1）为17.7 MHz。 图7、上升及下降时间为18 ns之方波频谱 如果将上升及下降时间增加至100 ns，透过转折频率的公式可以计算出新的转折频率（fc2）降低至3.18 MHz，图8为上升及下降时间为100 ns之方波频谱。 图8、上升及下降时间为100 ns之方波频谱 比对图7和图8两张方波FFT频谱，可以发现如果方波的上升、下降时间越长，转折频率会越低，高频成份就会衰减越多，这也从频域的观点说明了加大开关转换器的MOSFET闸极驱动电阻（gate resistor；Rg）可使EMI滤波器比较容易设计，因MOSFET的驱动信号的斜率变缓，以上图来看，转折频率因而降低，能让电路上的高频噪声被衰减得更多。 三. 范例 本章以交流转直流返驰式转换器搭配立锜科技之控制芯片RT7736为范例，其输入电压为90 - 265 Vac、输出电压为12 V、输出功率为24 W的，针对转换器之MOSFET电压、输出二极管电压、输出电压涟波、输出电容电流及输入电容电流波形做FFT频谱分析，并从频率域的角度观察各波形特性。返驰式转换器常会在变压器一次侧和输出二极管分别并联RCD电压箝位电路（voltage clamp circuit）和RC缓振电路（snubber circuit），如图9所示。由于传导电磁干扰（conducted EMI）法规所规范之最高频率为30 MHz，因此将示波器的FFT频谱范围设定为10 kHz到30 MHz，取样率为100 MSa/s，解析带宽为1 kHz。 图9、返驰式转换器示意图 1. MOSFET之电压 由于RT7736内建智慧抖频（SmartJitter™）功能，开关频率有±6 %的变动范围，使其频率成份扩散成柱状，而非在单一频率上。图10为满载时MOSFET电压波形的FFT频谱，从65 kHz附近开始出现开关频率及其谐波的低频成份。在满载时，变压器的激磁电感（magnetizing inductance）工作在连续导通模式（continuous conduction mode；CCM），MOSFET电压可近似为一方波，因此在中低频的地方，幅值以-20 dB/dec的斜率衰减。在5 MHz附近，幅值出现抬升，则是因为在MOSFET关闭瞬间，漏电感电流在MOSFET上产生之高频电压突尖（voltage spike）。 图10、满载时MOSFET电压波形之FFT频谱 当负载减轻时，开关频率逐渐降低，激磁电感的操作模式从连续导通模式转成不连续导通模式（discontinuous conduction mode；DCM），由图11可以发现在输出电流降到0.5 A时，开关频率只有26 kHz，由于在DCM操作的关系，激磁电感和汲极电容产生的振铃（ringing）变化亦会反映在MOSFET电压波形上，因此在频谱上也能看到在振铃频率（fDCM）附近的幅值也出现抬升。 图11、轻载时MOSFET电压波形之FFT频谱 图12为轻载时未加RCD电压箝位电路的MOSFET电压频谱，由于移除RCD电压箝位电路后，漏电感电流在MOSFET关闭瞬间少了一条宣泄的路径，漏电感电流全部都流进MOSFET的输出电容（Coss），因而产生更高的电压突尖。比对图11和图12可以观察到RCD电压箝位电路主要作用在电压突尖的频率（5 MHz）附近，衰减了10 dB，在中低频段则无明显变化。 图12、轻载时未加RCD电压箝位电路的MOSFET波形电压之FFT频谱 2. 输出二极管之电压 通常输出二极管两端会并联一组RC缓振电路，其目的是为了吸收在MOSFET导通瞬间，因输出二极管的逆向回复电流（reverse recovery current）产生的高频电压突尖。在设计缓振电路时，需要先知道电压突尖的频率，以往是使用示波器将时域波形展开并用光标功能进行读值。本文则提供另一种方法：从波形FFT频谱找出电压突尖之频率。图13为满载时未加装RC缓振电路的输出二极管电压频谱，图中显示电压突尖的频率为21 MHz，由此可以设计对应之RC缓振电路了。 图13、满载时未加装RC缓振电路的输出二极管电压波形之FFT频谱 图14为加装RC缓振电路后的输出二极管电压频谱；比对两张FFT频谱，可以看到RC缓振电路的抑制效果。由于此时输出二极管电压波形和操作在CCM的MOSFET电压相似，从图14可以看到在中低频段时，输出二极管电压频谱一样是呈现-20 dB/dec的衰减斜率，在高频时，则是以-40 dB/dec的衰减斜率。 图14、满载时加装RC缓振电路的输出二极管电压波形之FFT频谱 3. 输入电容之电流 在实际应用上，铝质电解电容（aluminum electrolytic capacitor）经常被用于输入电容和输出电容，其寿命与环境和电气特性有密切的关系。常见的液态铝质电解电容寿命估算式为 （7） 其中，LX为待估算之电容寿命，LO为厂商提供之保证寿命，KTemp为周温修正系数，KVoltage为电压修正系数，IC_rms为流进电容之涟波电流（RMS），IRated为额定最大容许电流（RMS）。从估算式可以观察到在预估电解电容的寿命时，需要计算涟波电流（ripple current）的方均根值。 由于电解电容的等效串联电阻（equivalent series resistor；ESR）会随着涟波电流的频率改变，不同频率下的涟波电流耐受度皆不相同，为了获得较准确的寿命估算，在计算时不会使用示波器直接量测时域波形的方均根值，而是将电流波形做FFT分析，把不同频率下的电流成份等效至120 Hz下去作计算，其等效之电容涟波电流为 （8） 图15和图16分别为输入电容电流波形之FFT频谱与RUBYCON提供之铝质电解电容涟波电流系数修正表。 （a） （b） 图15、满载时输入电容电流波形之FFT频谱 （a）10 Hz - 100 kHz （b）10 kHz - 30 MHz 图16、RUBYCON提供之400 V铝质电解电容涟波电流系数修正表 4. 输出电容之电流 图17为满载时输出电容电流波形之FFT频谱，其寿命估算方式与输入电容相同。比对输入和输出电容的电流的频谱，可以观察到经过一个交流转直流的转换器之后，电容电流的主要成份从低频的市电频率转变成高频的开关频率。 （a） （b） 图17、满载时输出电容电流波形之FFT频谱 （a）10 Hz - 100 kHz （b）10 kHz - 30 MHz 四. 对EMI的影响 在上一章介绍了交流转直流返驰式转换器的许多组件上电压或电流波形频谱，也在频域上看到MOSFET的RCD电压箝位电路和输出二极管的RC缓振电路的功效。本章将探讨RCD电压箝位电路对于MOSFET电压频谱上抑制之幅值，在EMI频谱上是否会有相同的效果。 由于传导EMI的法规限制，在进行FFT频谱与EMI频谱比对前，需先将示波器的设定调整成与EMI接收机相同，因此将FFT频谱范围设为150 kHz至30 MHz，解析带宽为9 kHz，示波器撷取时间为20 ms，取样率设定在100 MSa/s。图18及图19分别为加装RCD电压箝位电路前后之MOSFET电压频谱比较图和EMI频谱比较图，其量测条件皆为输入电压为115 Vac、输出电流为2 A，可以很明显的观察到缓振电路在FFT频谱上5 MHz附近衰减约10 dB，此衰减量同样会呈现在EMI频谱上。 图18、加装RCD电压箝位电路前后之MOSFET电压FFT频谱比较图 图19、加装RCD电压箝位电路前后之EMI频谱比较图 由这个实验结果可以得知抑制电路上的电压突尖和电流突尖（current spike）确实能有效降低特定频率的EMI噪声。往后若想进行特定频率的EMI侦错时，可试着用示波器的FFT功能以快速掌握电路上突波的频率，而能更有效地解决问题。 五. 结论 本文讨论了FFT功能在示波器上的设定及限制，也使用了标准波形进行示波器的操作示范，经由标准波形的实验厘清了频谱的坐标单位。此外透过返驰式转换器的量测实例，了解到了电解电容寿命的估算方式和电压箝位电路及缓振电路在EMI议题上关联及重要性，同时证实了示波器的FFT功能应用于电源转换器的设计与侦错是可行的。 六. 参考文献 “R&S® RTE Digital Oscilloscpe Specifications,” Rohde & Schwarz “R&S® RTE Digital Oscilloscpe Scope of the art,” Rohde & Schwarz “Analyze EMI problems with the R&S® RTO/RTE,” Rohde & Schwarz “Bandwidth of Digital Waveforms,” Clayton R. Paul, 2009 “RT7736 SmartJitterTM PWM Flyback Controller,” Richtek, 2014 “Life of Aluminum Electrolytic Capacitor,” Rubycon “Performance of Aluminum Electrolytic Capacitor,” Rubycon “Radial Lead Aluminum Electrolytic Capacitors WXA Series,” Rubycon 立锜科技电子报

上几天在嵌入式微系统（msOS）群内，网友“南方的风”在咨询信号系统问题，涉及到离散傅立叶变换复数问题。我因为之前写过“看得懂的傅立叶变换”，大家希望我解答一下。 说实在，我虽然对于傅立叶变换的物理意义比较了解，也能自己根据自己的感性理解可以推导出公式，但对于复杂的一些比如离散傅立叶等，却没有仔细分析过，因为用不着。 群内大部分网友都认为这个东西，就是一顿数学的推导，用matlab套用公式做几个例子就差不多了，至于很详细的，尤其是感性的理解，完全没有。 对于他的问题，我无法直接回答，但是，关于傅立叶变换本身不复杂，但引入了复数之后，因为大家对复数的物理意义都不懂，最后都是属于理性的公式推导，但最后的结果的物理意义是什么，大家却都不明白，只知道一堆的数学公式，这个是一种本末导致，所以我认为有必要先搞明白复数的物理意义，只有看得懂复数，有它的感性认识，那么基于它的推理才可能有感性，深刻的认识。 对于复数，长期困扰着我，无法理解，因为老师从来没有跟我们解释过它的物理意义，只是把结果告诉我们，让我们死记硬背。对于一个无法理解的东西而又想要去理解，最好的办法是溯源，去了解它的历史： 复数，最早是在解一元三次方程的时候引入的，当时解一元三次方程，很难解，引入了一个符号 设为J，J * J = -1,可以比较容易的解了这个方程，但带J的那个解，不被大家认可。这是虚数第一次出现，但到了后来，高次解之后，大家发现，J越来越绕不开，并且有规律，N次方程，就有N个包含带J的解，于是大家认识到一点，一个高次方程，要想解它的解，最佳的捷径就是从J入手，到了高斯时期，高斯对这个J进行了研究，那个时候是笛卡尔坐标系，但他第一个把J引入坐标系，于是出来了复数坐标系，但他的物理意义是什么呢？他把这个物理意义跟平面坐标的矢量四则运算结合起来，若J * J = -1，恰好满足一个平面坐标的矢量四则运算，那个时候他意识到，J真实存在。 J的物理意义就是表示另外一个坐标轴，他是一个坐标轴符号，为了区别X轴，引入Y轴，那么必须要用符号标记，所以J是坐标Y轴的符号，这就是它的物理意义，于是就有了a+bJ。 有了复平面其实就是用一个数来表征一个平面数据，而J只是一个符号，那么这个符号的四则运算肯定不同于数字运算逻辑，假如符号运算逻辑跟数字运算逻辑等价，是不可以理解的，那么这样下，J * J = -1,这个就可以理解了，J * J = 1反而不能理解，因为这个J是符号，这个是符号的四则运算逻辑，它必须要跟数字的运算逻辑不同，甚至相反。而现在恰恰相反，满足了我们的实际需要，这样数学进入了平面时代。   那个时候三角函数发明了，并且非常兴起，而三角函数是典型的平面坐标体系，于是大家想到了用复平面来表征三角函数，这个里面，欧拉做了最大的贡献，那就是欧拉公式: e^iπ+1=0。它 把数的基本逻辑搞明白了，出来了完美的公式，而后期的傅立叶变换，大家也开始引入了正交复平面坐标系来表征一维信号，发现得到了一个完美统一的表达方式：用正交复平面坐标系来描述，这个相对于常规的，用三角函数正交坐标系描述，在形式上更统一。但是，三角函数正交系（普通傅立叶变换）的表达都让很多人晕乎了，何况还是的正交复平面坐标系，这个就导致了理解上的难度。其次，我们的教育，虚数是在高中时期引入的，那个时候老师根本不明白虚数的意义，到了大学，我们往往把结果当成了真理来运用，不去溯源而忘乎了复数的历史起源，可以说，复数的起源，是很多初期数学家困惑的东西，就如同量子理论一样。 大家都在不停的否定中，被迫承认，后来发现好处，尤其形式上的完美统一，最后，反而进入了自我循环的独立体系，却最后忘记了它的物理意义，任何东西，必须要有物理意义，抛弃物理意义，只是推导，那只需要计算机就可以了，不需要人。   复数的引入，最大的价值，让我们的思维开阔了，可以引入N维度的思维，这个在实际中有很多应用，而基于这种思维的应用，一般可以做一些高、精、尖的产品，以避免同质化竞争。   /**************************************/ 感谢各位的回评，复数是比较复杂的东西，每个人都有他自己的理解深度，我也不敢说理解的就是对的。 请各位在回评的时候，尤其认为文章内容有错误或者不准确的地方，一一指出，便于更正，先谢了。    

上几天在嵌入式微系统（msOS）群内，网友“南方的风”在咨询信号系统问题，涉及到离散傅立叶变换复数问题。我因为之前写过“看得懂的傅立叶变换”，大家希望我解答一下。 说实在，我虽然对于傅立叶变换的物理意义比较了解，也能自己根据自己的感性理解可以推导出公司，但对于复杂的一些比如离散傅立叶等，却没有仔细分析过，因为用不着。 群内大部分网友都认为这个东西，就是一顿数学的推导，用matlab套用公式做几个例子就差不多了，至于很详细的，尤其是感性的理解，完全没有。 对于他的问题，我无法直接回答，但是，关于傅立叶变换本身不复杂，但引入了复数之后，因为大家对复数的物理意义都不懂，最后都是属于理性的公式推导，但最后的结果的物理意义是什么，大家却都不明白，只知道一堆的数学公式，这个是一种本末导致，所以我认为有必要先搞明白复数的物理意义，只有看得懂复数，有它的感性认识，那么基于它的推理才可能有感性，深刻的认识。 对于复数，长期困扰着我，无法理解，因为老师从来没有跟我们解释过它的物理意义，只是把结果告诉我们，让我们死记硬背。对于一个无法理解的东西而又想要去理解，最好的办法是溯源，去了解它的历史： 复数，最早是在解一元三次方程的时候引入的，当时解一元三次方程，很难解，引入了一个符号 设为j，J * J = -1,可以比较容易的解了这个方程，但带j的那个解，不被大家认可。这是虚数第一次出现，但到了后来，高次解之后，大家发现，j越来越绕不开，并且有规律，N次方程，就有N个带J的解，于是大家认识到一点，一个高次方程，要想解它的解，最佳的捷径就是从J入手，到了高斯时期，高斯对这个J进行了研究，那个时候是笛卡尔坐标系，但他第一个把J引入坐标系，于是出来了复数坐标系，但他的物理意义是什么呢？他把这个物理意义跟平面坐标的矢量四则运算结合起来，若J * J = -1，恰好满足一个平面坐标的矢量四则运算，那个时候他意识到，J真是存在 J的物理意义就是表示另外一个坐标，他是一个坐标的符号，为了区别X轴，引入Y轴，那么必须要用符号标记，所以J是坐标Y轴的符号，这就是它的物理意义，于是就有了a+bJ。 有了复平面其实就是用一个数来表征一个平面数据，而J只是一个符号，那么这个符号的四则运算肯定不同于数字运算逻辑，假如符号运算逻辑跟数字运算逻辑等价，是不可以理解的，那么这样下，J * J = -1,这个就可以理解了，J * J = 1反而不能理解，因为这个J是符号，这个是符号的四则运算逻辑，它必须要跟数字的运算逻辑不同，甚至相反。而现在恰恰相反，满足了我们的实际需要，这样数学进入了平面时代。   那个时候三角函数发明了，并且非常兴起，而三角函数是典型的平面坐标体系，于是大家想到了用复平面来表征三角函数，这个里面，欧拉做了最大的贡献，那就是欧拉公式: e^iπ+1=0。它 把数的基本逻辑搞明白了，出来了完美的公式，而后期的傅立叶变换，大家也开始引入了正交复平面坐标系来表征一维信号，发现得到了一个完美统一的表达方式：把一维信号，用二维正交复平面坐标系来描述，这个相对于常规的，一维信号，用三角函数正交坐标系描述，在形式上更统一。但是，我们人的思维，一直停留在一维上，希望一维的信号，用一维的另外一个信号来表征，三角函数正交系（普通傅立叶变换）的表达都让很多人晕乎了，何况还是的正交复平面二维坐标系，这个就导致了理解上的难度。其次，我们的教育，虚数是在高中时期引入的，那个时候老师根本不明白虚数的意义，到了大学，我们往往把结果当成了真理来运用，不去溯源而忘乎了复数的历史起源，可以说，复数的起源，是很多初期数学家困惑的东西，就如同量子理论一样， 大家都在不停的否定中，被迫承认，后来发现好处，尤其形式上的完美统一，最后，反而进入了自我循环的独立体系，却最后忘记了它的根本，任何东西，必须要有物理意义，抛弃物理意义，只是推导，那只需要计算机就可以了，不需要人。   复数的引入，最大的价值，让我们的思维开阔了，可以引入N维度的思维，这个在实际中有很多应用，而基于这种思维的应用，一般都是可以做一些高、精、尖的产品，以避免同质化竞争。

      通信通道有带宽，无线和有线信号能够计算带宽，那么可以给人计算带宽吗？带宽到底是什么概念？          在物理世界我们能“看见或者听到”空中的无线信号的电磁波形，光纤中有线信号的电磁波形。这里的“看见”是指需要借助示波器等仪器，但我们不难通过在脑海 中浮现出水面上的波纹，来想象电磁波形随着时间在三维空间无限延展。换句话说，电磁波是时间和空间的函数。       带宽怎么得来的呢？带宽是傅立叶变换后得到的一个数字。对时间域的电磁信号进行傅立叶变换，我们得到了信号所包含的各种不同频率成分。信号所包含的各种不同频率成分所占据的频率范围，就叫带宽。所以带宽是一个频率域的概念，是看不见听不到的。       典型的例子就是音乐和五线谱，我们听见的是在音乐大厅回荡、随着时间变化的美妙声音，这段声音经过傅立叶变换，就变成了凝固在纸张上的五线谱。无线谱有五 条线，如果一段音乐的蝌蚪乐符集中在三条线的范围内，音乐信号的带宽就比较小；如果一段音乐的蝌蚪乐符五条线上都有分布，甚至需要在上面和下面加线，那么 这段音乐信号的带宽就比较大。一个音乐家一看谱就知道音乐的带宽，而一个不识谱的听众，大致会以这种方式来理解带宽：“这位音乐家一会唱高音，一会唱低 音，音域很宽广。”音域就是带宽。       人的带宽怎么计算呢？先看一个司机，有的司机遵守交通规则的人，不会随意变道，有的司机则会随意变道超车。经常变道的司机会占据更宽的道路，不大变道的司 机占据较窄的道路。如果对司机的行车路线做傅立叶变换，也会得到同样结论：野蛮司机的带宽比较大，规矩司机的带宽比较小。       那么，可不可以这么说，计算人的带宽就是看这个人的变化大不大？如果变化大，带宽就大，变化小，带宽就小。老人和小孩带宽大，中年人带宽小；经常出差的人带宽大，上班回家两点一线的人带宽小。       带宽大不表示人优秀，关键是携带多少有用的bit。一个随意变道超车的货车司机和一个遵守交通规则的货车司机，运载的货物量一样，显然，前者的道路频谱利 用率低，后者的道路频谱利用率高。就像判断通信协议优劣的关键指标是bit和hz的比值一样。人的带宽是人占用、消耗的社会资源，工程师上过大学，带宽应 该比较大，所以理应贡献更多的比特，为社会做更多的贡献。       最后提一下，在百度百科发现人力资源管理中也有带宽。现摘抄如下：       “所谓‘带宽’就是指各等级薪资的最大值与最小值之差，又将其称为薪值的分布区间。一般而言，由于职位高低不同，职位或职层所涉及技能与职责的复杂性程度 也会有所不同，因此，各职等级的薪资带宽也就应该有所不同（薪资带宽应当能反应一个职位或职层的任职者由一个初入者到能力与业绩十分突出者所需要的难度大 小）。如果职位或职层所涉及的技能与职责能在较短时间内得以掌握，则此等级薪资的带宽较窄；而如果职位或职层所涉及的技能和职责需要学习的时间较长，继续 提升的机会也较小，则其相应的带宽较大。根据这个理论，变革者在设计职等带宽时应当坚持的原则是：职等越高，其带宽就应越大，因为职等越高，任职者胜任的 速度就越慢。”  

说起傅立叶变换，大部分科班出身的都上过课，但真正深入理解的，很少，用的起来的，就更少了。   傅立叶变换，本质上就是用一组特征量来对一个信号的一种描述。比如我们描述一个人，就是把一个人从地球上70亿人口唯一的表达出来，于是我们引入了一组特征量：   1、国籍，这样就约束在中国12亿人口内了 2、省份，大概约束在1亿以内了 3、县市，千万级别了 4、乡镇，最多也就是百十万 5、街道，那就是以万、千为记了 6、门牌号，就剩下一口几个人了 7、姓名   这个就是，它唯一的表达了一个有限量70亿分之一。   那么还有其他的表达方式，用来描述这个人，比如乔布斯，就问70亿人，谁是乔布斯，大家都是知道，设计iPhone的那个人。但对于一般人来说，我们常用的是，身材、脸型，这些就可以把他从70亿里面明确出来了   所以确定一个人，一个70亿分之一的人，方法有很多种，如从地域区分、相貌区分、能力区分、口音区分、贡献区分等等，可以有无限多种方式。   那么我们就明白了一点，一个信号，只要它是有限的，同样，也是可以如同人一样，可以有很多的方式表达它的，并且能够表达它的唯一性，那么这个就要从数学上推理，跟人类比   1、一个信号，它必须是有限量的，若它是无限的，那么谁都描述不了，所以我们要描述的，都是具体的有限的信号。   2、必须要有一套可以用来描述这个信号的一系列的完备的（数学上往往是无限的）、独立不相关的特征，因为我们要描述的是任意一个人，而不是乔布斯，所以必须要有一整套的特征体系。那么从数学上，就要构建一套这样的特征信息出来，其中，cos（nwt）、sin(nwt),n从1到无穷，这一套三角函数，就完备的满足了条件。需要注意的是，数学上必须要证明这些cos(nwt)和sin(nwt)组合起来的三角函数系必须能够描述任意的曲线，这个就是靠高数里面的级数展开证明的。   3、把信号与参考的这整套特征比对，把信号在这套特征上的分量都表示出来即可，这个就如同三维坐标，一个点投影在其上面，于是就有了X、Y、Z三个坐标，只是三维坐标是一套有限的直角坐标，现在换成了一套无限的三角函数坐标罢了。   4、三角函数坐标，是傅立叶先发明的，所以以他的名字来命名。   最后结论，傅立叶变换本质上就是一个有限的信号量在无限维三角坐标系下的投影，因为信号不是一个点，而是一个曲线，所以不能以有限的直角坐标来描述。   现在流行的3G的扩频，采用了另外一套数字化的坐标，类似傅立叶变换，叫沃尔什函数，今后将在GSM与CDMA区别中介绍。