原创 fft做相关运算的多峰问题

前几日，一直纠结在一个问题里面。基本上研究清楚了，感觉值得分享，是信号处理里面比较有意思的一个问题，就是截短的信号处理依旧要考虑数字域处理时相位连续的问题。很多时候，类似这样特别基础的问题，却很难想得很明白，着实让人头疼。

问题的引入：

GPS信号做捕获算法，由于时频搜索的相关运算量太大，所以就用fft的算法来做相关运算。数据序列，频率序列和CA码序列三个序列的相关，理论上感觉任何两者之间先乘之后，在对两个序列进行fft变换做点乘，ifft回去即可得到相关峰。而在仿真的过程中，却发现，经常会出现三个相关峰的现象。基本上是在最大的相关峰两侧，间隔1khz左右的地方，会再有两个很明显的相关峰。

问题的原因分析：

用FFT的方式做相关，相当于把一个截短的序列做了周期延拓，然后做相关。周期延拓的信号在周期接缝的地方，如果序列本身的相位不连续，则会引入误差。保证这个周期延拓的信号的相位连续看起来是解决多峰问题的关键。

尝试的方法与分析：

第一种方法：数据序列与频率序列先乘后，再与CA码序列通过FFT方法做相关运算。数据先乘频率旋转序列，之后的序列本身相当于去掉了频偏的数据序列，所以周期延拓的等效在每ms的接缝处是相位连续的，然后与CA码序列做FFT算法相关，不会出现多峰。

第二种方法：CA码序列与频率序列先乘后，再与数据序列通过FFT方法做相关运算。用CA码序列先乘频率旋转序列，这造成了一个新的数据序列，周期延拓的效果在每ms的接缝处存在相位不连续点，而原始数据本身也存在相位不连续点，这两个序列通过FFT做相关运算，则会出现1khz左右的多峰。

第三种方法：将两种算法里面参与运算的序列都补齐一半的零，然后再做FFT相关。这本身就引入了相位不连续点，且两种算法的效果基本等同了，所以都出现多峰。

第四种方法：将两种算法里面参与运算的序列都多取一半的数据，而不是补零，然后再做FFT相关。第四种算法跟第一种方法时得到的结果基本一致，但相关峰本身能量更突出。第二种算法依然存在多峰，但由于相关峰本身能量更突显，其他峰的能量相对而言得到压制，使得信噪比得以提高。

第五种方法：将多个ms（例如10ms）的数据序列，频率序列和CA序列先做点乘后，再直接做多个ms（10ms）的长度的FFT变换，实现相关运算。由于序列本身的长度远远超过了1ms，则在1ms接缝的地方肯定是相位连续的。所以这种方法是确定没有多峰问题。

结论：按照第五种方法来做，是对的，但运算量相对来说比较大。按照第一种方法来处理，效率最高，多峰问题基本得到解决。

其他还会有一些时候仿真看到多峰，基本上还是算法不正确，人为引入相位不连续导致的。在此不赘述了。