原创 矩阵系列之矩阵乘法

 上一篇说到一个基本的小知识点浮点到定点的转换，这一篇来说说矩阵乘法。矩阵乘法和下一篇要说的矩阵LU分解是矩阵求逆的重要组成部分，所以就算大家不需要做矩阵求逆，对其先有个整体的认识也是好的。（矩阵求逆的整体框图还是很好理解的 ，甚至你只要瞟一眼图就好）。

矩阵求逆的步骤如下：

1.原始矩阵A通过LU分解为上三角矩阵L与单位下三角矩阵U。

2.分别通过三角矩阵的求逆运算得到L逆和U逆。

3.最后通过矩阵乘法得到A逆。

显而易见，矩阵求逆由如下三个部分组成：

1.LU矩阵分解

2.三角矩阵求逆

3.矩阵乘法

做矩阵运算，脉动阵列绝对是个神器，笔者大部分的时间是花在脉动阵列上面的，脉动阵列主要完成算法到结构的映射，而这种结构的设计往往是最难的，值得一提的是，大部分矩阵运算的脉动阵列都已经被设计出，有的甚至不止一种结构。下面简单介绍脉动阵列，如果感兴趣的可以深入研究。

脉动阵列：多个相同的处理单元（PE），按照一定的规则组成的网络，成为脉动阵列。脉动阵列可以是一维线性、二维三角形、二维矩形、二维六边形等等。

特点：1.每一个节点，即PE，都是相同的，（个别也可以不同）。

      2.每个PE只与其邻近的PE进行通信，也就是说PE之间的通信具有局部性，而且通信是规则的。这点非常重要！！！

      3.每个PE都有其局部的储存器，也就是PE的某些边带有延时，延时在硬件上对应于寄存器。

由于以上特点，造成PE之间的高度流水化、规则化，因此系统吞吐率非常大且易于VLSI的实现。

从公式上可以看出，计算后的矩阵的每个单元（i，j）是矩阵A的第i行矩阵与矩阵B的第j列对应元素的乘积和。

可以看出，矩阵乘法的计算规则化，数据间的通讯具有局部化的特点，因此很适合用脉动阵列来实现。

  根据算法的特点，设计二维方形的脉动阵列，如下图所示：从上到下，从左到右分别流经矩阵A、B的数据。处理单元PE则保存结果矩阵C，处理单元以矩阵C(i,j)命名，初始值均为0。设计好的脉动这列图与以及每个时刻详细的步骤如下：

   乘法脉动阵列图

注：*号代表延时一拍

下面给出计算数据流向与结果的示意图

1.时刻1

数据a11、b11进入PE单元，计算并更新PE，将数据保存在PE中。

2.时刻2

数据a11继续向右流入C12，与向下流入的b22做运算将结果更新保存在C12。数据a21流入处理单元C21，b11继续向下流动，与a21做同样的运算并更新保存C21。而此时C11保存的是a11*b11+a12*b21的结果。

依次向下向右流动，经过3*n-2个时钟周期得到结果矩阵C，相比串行执行的时间复杂度(n^3)，阶数越多，时间缩短的越多。值得说明的是，该阵列中所有处理单元所完成的功能相同，均为乘加运算。

测试模块包括：矩阵生成模块，定点转浮点模块，矩阵乘积模块（核心模块），浮点转定点。通过matlab仿真与modelsim的结果对比，验证其正确性。

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