原创 矩阵系列之LU分解

  首先要明确的是，矩阵的LU分解是有局限性的，即LU分解只针对非奇异矩阵。那么什么是非奇异矩阵呢？即各阶顺序主子式不为零。

LU分解的思想来源于高斯消去法，拿方阵为例（因为本项目中要处理的就是方阵）。将一个n*n的方阵A，通过左乘一系列消去矩阵（笔者自己起的名字，便于理解）。使得

((((n个L1*(((L2*((....*(Ln*A)=U               U为上三角矩阵。

之所以这样化简是因为上三角矩阵便于求解方程组（当然这不是本文的主题，只是为了说明LU分解的来历）。将所有的消去矩阵按顺序相乘，得到

L’ * A = U

这样就把Ax=b的方程组，变换为求解Ux=b三角方程的形式。之所以说LU与高斯消去法有紧密的联系，是因为LU分解在分解的过程中同样用到了高斯消去法。

LU分解是将一个n阶的非奇异矩阵A分解成一个单位下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积，称作矩阵A的LU分解。如下图所示：

L和U的计算公式如下：

为了提高PE的利用率，让A、L、U三个矩阵的元素中选取L矩阵的元素存于PE之中，使另外两个矩阵的元素沿不同的方向流动，即A、U中的元素分别沿水平向右与垂直向下的方向流动，构成如下图所示的三角状阵列。阵列中的正方形PE为内积步PE。当A的主对角线元素到达PE（i,j）（i不等于j）时，产生L矩阵的元素Lij，且从此保存与PE中。阵列中的圆形PE仅起到改变方向的作用。

A的元素沿水平方向流经各正方形PE并被处理后，其下三角元素在PE中被除以ajj后变为Lij而存于PE（i,j）中；A的上三角元素到达圆形PE时，变为uij而改为垂直向下流动，参加后面L、U值得计算。最后U的元素由阵列底部输出。

                             LU分解脉动设计图

矩阵A

矩阵U

矩阵L

（2）Modelsim分解结果：

                矩阵U

                矩阵L

         大家应该注意到，矩阵L的结果是使用单精度的浮点数表示的，大家可以参照《矩阵开篇之浮点转定点》，练习练习，然后跟matlab的结果做对比，看看自己是否掌握了该转换方法。