原创 【博客大赛】卡尔曼滤波学习笔记（三）状态空间

对一个弹簧阻尼振动器做建模，会发现它的动力学方程是一个二阶表达式：

其中，m是负载的质量，t是时间，ks是弹簧系数，kd是阻尼系数。

这个表达式就不具体分析了，相信理解起来并不困难。

现在将此二阶微分方程转换成两个一阶微分方程，以此类推，任何高阶微分方程都可以这么操作。

以此形成的一阶微分方程组合，成为状态方程：

其中，t是时间，x是依赖的变量，r是已知的输入个数。

当ui和xi无关时，状态方程称为非齐次状态方程。

当ui和xi相关时，状态方程称为齐次状态方程。在控制系统里，齐次状态方程很常见。

x的个数表征了系统的自由度，所以x又被称为状态变量，它的集合被称为状态矢量：

对于一个弹簧阻尼振荡器来说，有如下状态空间表达式：

δ是我们需要估计的值，也就是负载的质心离初始点的位置。δ以及δ的一阶微分组成了状态矢量。

Fc是系数矩阵，它由牛顿力学定律导出。

弹簧阻尼振荡器是在连续时间上的建模，有的时候我们只关心离散时间。

对于连续时间系统，有：

对于离散时间系统，有：

它们的状态空间形式还是有差异的。

只要物理现象本身容易抽象，且对它的数学建模清晰，状态方程很容易得出。

看到这里，是不是觉得卡尔曼滤波并不难以理解？哈哈，咱们拭目以待。