原创 论频谱中负频率成分的物理意义

摘要  本文讨论了信号经过傅立叶变换所得频谱的物理意义，其中着重于负频率成分。因为许多信号与系统的教材中都提出负频率成分没有物理意义，本文以多方面的实例证明了负频率成分不但具有明确的物理意义，而且有重要的工程应用价值。文章还用MATLAB程序演示了如何用几何方法求傅立叶反变换，把集总频谱合成为时域信号，从中也可鲜明地看出负频率成分的意义。

关键词  傅立叶变换，频谱，负频率，集总频谱，多普勒频率，

On The Physical Meaning of Negative Frequency in Spectrum

Chen, Huaichen  Fang Haiyan

Xidian University, Xi’an, Shaanxi, Zipcode 710071

Abstract  The physical meaning of the frequency spectrum, especially the negative frequency components, obtained from Fourier Transform of signals was discussed. Since some textbooks explained the negative frequency as a pure mathematical expression with no physical meaning, many examples were given in this paper to show that negative frequency not only contains physical meaning, but also has its real applications. A MATLAB demo program was developed to show that the IFT is equivalent to the geometrical composition of several rotating vectors representing lumped frequency spectrums.. The geometrical meaning of the negative frequency can be clearly recognized from the rotating vectors.

Keywords Fourier Transform, Frequency Spectrum, Negative Frequency, Lumped spectrum, Doppler Frequency

0．引言

在对任何信号进行傅立叶分析时，得出的频谱为复数，且其频率范围将从-∞~∞。对于负频率以及该范围的频谱，应当如何理解?它有没有物理意义?是一个还缺乏讨论，因而没有统一看法的问题，本文将对此进行讨论。

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1．负频率与复信号

频率 f 的原始定义是每秒出现的次数，可用以衡量机械运动、电信号、乃至任何事件重复出现的频度，这当然不存在有“负”的概念。当用频率描述圆周运动时（即进入了二维信号平面），产生了“角频率ω”的概念，从机械旋转运动出发，定义为角速度，对于周期运动，角速度也就是角频率。通常θ以反时针为正，因此转动的正频率是反时针旋转角速度，负频率就是顺时针旋转角速度。正、负号是非常自然形成的，没有物理意义的有无问题。

电的单位向量（电压或电流）围绕原点的转动，可以用表示，这是在电路中都清楚的。θ的正负所代表的物理意义从未有什么争议，它的导数的物理意义不言自明，取正取负都不影响定义，为什么取负就会失去物理意义了呢？

图2 实数信号由正负频率复向量合成图3 (a) 正余弦信号的双边频谱图3(b) 仅含负频率成分的信号

在信号与系统课程中，为了简化问题，便于初学者掌握概念，开宗明义地把研究范围限定于实信号f(t)，也就是在电压旋转向量中，只研究它在实平面或虚平面上的一个投影sin(ωt)或cos(ωt)，研究复信号的特性与只研究实信号sin(ωt)或cos(ωt) 是两个不同的层次。前者是反映信号在空间的全面特性，如图1所示。后者只研究了信号在一个平面（x-t或y-t组成的平面）上投影的特性。这就必然要丢掉一些重要的信息，以致x=sin(ωt) 与sin(-ωt) 在x-t平面中的波形没有任何差别，这是人们对负频率的意义产生疑问的直接原因之一。很显然，在x-t或y-t的平面内，是不可能看出旋转的。既看不到θ，更看不到ω。只有在x-y平面上才能看到这两个旋转参数。

2．复信号与实信号的频谱

同样，用或sin(ωt)或cos(ωt)作为核来做傅立叶变换所得的结果也是前者全面，后者片面。对实信号做傅立叶变换时，如果用指数为核，将得到双边频谱。以角频率为Ω的余弦信号为例，它有具有位于±Ω两处的、幅度各为0.5、相角为零的频率特性。它的几何关系可以用图2表示。两个长度为0.5的向量，分别以±Ω等速转动，它们的合成向量就是沿实轴方向的余弦向量。而沿虚轴方向的信号为零。可见必须有负频率的向量存在，才可能构成纯粹的实信号。所以欧拉公式是有其明确的几何意义（即物理意义）的。在文献[1]中给出了动画，并给出了正、负数字频率的几何解释。

3．双边频谱的工程应用

正余弦信号中包括正负双边频谱，不仅有物理意义，而且具有重要的工程价值。

1）二相异步电机的设计

根据这个概念，可以用两路在空间正交的实信号来构成旋转电磁场，设计电动机。上面给出了单位余弦波在正负两个频率上有幅度相等，相角均为零的两根谱线；同样，单位正弦波在同样正负两个频率上也有幅度相等的谱线，不过它们的相角分别为±π/2。用立体图表示如图3(a)。

如果把正弦和余弦两个信号的正频率成分设计得相等相反，则把它们合成以后，就只剩下负频率成分，它就构成一个单纯负向旋转的电信号。为此可以把正弦信号在空间上转动π/2，使它的正频率谱线恰好与余弦信号的正频率谱线反向，这样两个信号的合成（见图3 (b)）就成为一个只有负频率谱线的信号，当然它在时域必然是复数信号。常用的二相异步电机就是这样负向转动的。而要使该电机正转，则要使两者的负频率成分互相抵消，只保留其正频率成分。

2）通信领域中的Hilbert变换

图4 四个频谱向量组成的多节杆及其端点轨迹

实信号的双边频谱是对称的。如果它的单边频带宽W，考虑到负频率成分，实际占的频谱区域就是±W，所以通信中要传输这样的信号就需要占用2W的频带宽度。为了节省频带，人们就发明了Hilbert变换，它可以把信号的正频率频谱移相-90°，把负频率频谱移相90°，然后再将这个信号移相90°与原信号相加，使两者的负频率成分互相抵消，正频率成分加倍，构成一个没有负频率频谱的复信号,（如同上面所说的二相异步电机那样）。这个复信号的带宽就只占W了。用这个方法，使频带节约了一半。在这里，可以看到负频率成分的重要性，在传送信号时。它是不可或缺的部分。另外，也看到负频率成分与复信号的密切关系。

3）产生任意的平面运动轨迹

文献[5]曾提出根据傅立叶反变换原理产生平面运动轨迹的方法。从上面欧拉公式的几何意义不难得知，傅立叶反变换公式其实表示了多个频谱旋转向量的合成，这些向量的频率规定了它旋转的方向和角速度，它的幅度决定了该向量的大小，向量的合成可以用首尾相接的多节连杆表示，连杆的末端就是时域信号的空间轨迹。它在x轴上的投影是信号的实部，在y轴上的投影是信号的虚部。

图5 频谱分量合成的复信号、实信号和虚信号

不难设计出一个程序来演示这个过程，在^[2,3]中编写了一个MATLAB程序，程序名为exn941。它把四个集总频谱合成起来。假如给出这些频谱分量如下：

a(1) = 1， ω(1) = 1；        

a(2) = 1， ω(2) = －1；

a(3) = 0.5，ω(3) = 3；

a(4) = 0.5，ω(4) = －4；

在此处，为了显示复信号，有意把输入频谱设成不对称的，见图5(d)。于是读者将看到四节杆的运动动画，并得到杆系及其末端在复平面上的轨迹（图4），改变了比例尺后为图5 (a)。将它在x，y两方向的投影与时间轴的关系画在图5(b)和(c)中，就得到信号与系统课程中常见的实信号曲线。

输入频谱的幅度可以是负数，也可以是虚数，甚至可以是复数，它不仅反映了频谱的大小，还反映了该向量的起始相位；频谱的频率则只能是有正负号的实数，正频率和负频率以及在该频率上频谱的意义在此不言自明。读者可以做各种各样的试验。例如当两组频率具有倍频关系时，得到的是周期信号，如果频率比是无理数，那将得出非周期的信号；另外，这样的演示只适用于集总频谱，对于分布的频谱密度，就要把它想象为若干小的集总频谱的叠合。

总之有了这样的形象演示，可以大大扩展时域信号与频域谱之间关系的思维空间。

4）多普勒频率

多普勒频率又是一个负频率的实例，如果信号的发射源向我们运动而来，那么多普勒频率就是正频率；如果信号的发射源向我们远离而去，那么多普勒频率就是负频率，在这里正负频率都是有明确物理意义的。多普勒频率虽是一种差频，它表现为合成信号的包络频率，因此仍然符合上述的原理，在实信号域只能求出多普勒频率的大小，但检测不出它的正负。要得到负频率，必须从复信号域考虑。可见，不懂得这一点，就无法找到多普勒测速的原理框图。

5）机械工程领域的应用

关于二维信号的傅立叶变换，国内早已有学者将其应用于工程领域，参见文献[4]、 [5]。这些都是说明频谱中负频率物理意义的实际例证。