原创 CRC计算方法与C实现

      差错控制理论是在代数理论基础上建立起来的。这里我们着眼于介绍CRC的算法与实现，对原理只能捎带说明一下。若需要进一步了解线性码、分组码、循环码、纠错编码等方面的原理，可以阅读有关资料。

        利用CRC进行检错的过程可简单描述为：在发送端根据要传送的k位二进制码序列，以一定的规则产生一个校验用的r位监督码(CRC码)，附在原始信息后边，构成一个新的二进制码序列数共k+r位，然后发送出去。在接收端，根据信息码和CRC码之间所遵循的规则进行检验，以确定传送中是否出错。这个规则，在差错控制理论中称为“生成多项式”。

1 代数学的一般性算法

        在代数编码理论中，将一个码组表示为一个多项式，码组中各码元当作多项式的系数。例如 1100101 表示为
1·x6+1·x5+0·x4+0·x3+1·x2+0·x+1，即 x6+x5+x2+1。

        设编码前的原始信息多项式为P(x)，P(x)的最高幂次加1等于k；生成多项式为G(x)，G(x)的最高幂次等于r；CRC多项式为R(x)；编码后的带CRC的信息多项式为T(x)。

       发送方编码方法：将P(x)乘以xr(即对应的二进制码序列左移r位)，再除以G(x)，所得余式即为R(x)。用公式表示为
T(x)=xrP(x)+R(x)

        接收方解码方法：将T(x)除以G(x)，如果余数为0，则说明传输中无错误发生，否则说明传输有误。

       举例来说，设信息码为1100，生成多项式为1011，即P(x)=x3+x2，G(x)=x3+x+1，计算CRC的过程为

      xrP(x)     x3(x3+x2)     x6+x5                    x
     -------- = ---------- = -------- = (x3+x2+x) + --------
       G(x)       x3+x+1      x3+x+1                 x3+x+1

即 R(x)=x。注意到G(x)最高幂次r=3，得出CRC为010。

如果用竖式除法，计算过程为

               1110
            -------   
      1011 /1100000     (1100左移3位)
            1011
            ----
             1110
             1011
             -----
              1010
              1011
              -----
               0010
               0000
               ----
                010

因此，T(x)=(x6+x5)+(x)=x6+x5+x, 即 1100000+010=1100010

如果传输无误，

       T(x)     x6+x5+x
      ------ = --------- = x3+x2+x,
       G(x)     x3+x+1

无余式。回头看一下上面的竖式除法，如果被除数是1100010，显然在商第三个1时，就能除尽。

上述推算过程，有助于我们理解CRC的概念。但直接编程来实现上面的算法，不仅繁琐，效率也不高。实际上在工程中不会直接这样去计算和验证CRC。

下表中列出了一些见于标准的CRC资料：

* 生成多项式的最高幂次项系数是固定的1，故在简记式中，将最高的1统一去掉了，如04C11DB7实际上是104C11DB7。

    ** 前称CRC-CCITT。ITU的前身是CCITT。

2 硬件电路的实现方法

       多项式除法，可用除法电路来实现。除法电路的主体由一组移位寄存器和模2加法器(异或单元)组成。以CRC-ITU为例，它由16级移位寄存器和3个加法器组成，见下图(编码/解码共用)。编码、解码前将各寄存器初始化为"1"，信息位随着时钟移入。当信息位全部输入后，从寄存器组输出CRC结果。

 
3 比特型算法

         上面的CRC-ITU除法电路，完全可以用软件来模拟。定义一个寄存器组，初始化为全"1"。依照电路图，每输入一个信息位，相当于一个时钟脉冲到来，从高到低依次移位。移位前信息位与bit0相加产生临时位，其中bit15移入临时位，bit10、bit3还要加上临时位。当全部信息位输入完成后，从寄存器组取出它们的值，这就是CRC码。

typedef unsigned char bit;
typedef unsigned char byte;
typedef unsigned short u16;
    
typedef union {
    u16 val;
    struct {
        u16 bit0 : 1;
        u16 bit1 : 1;
        u16 bit2 : 1;
        u16 bit3 : 1;
        u16 bit4 : 1;
        u16 bit5 : 1;
        u16 bit6 : 1;
        u16 bit7 : 1;
        u16 bit8 : 1;
        u16 bit9 : 1;
        u16 bit10 : 1;
        u16 bit11 : 1;
        u16 bit12 : 1;
        u16 bit13 : 1;
        u16 bit14 : 1;
        u16 bit15 : 1;
    } bits;
} CRCREGS;
    
// 寄存器组
CRCREGS regs;
    
// 初始化CRC寄存器组：移位寄存器置为全"1"
void crcInitRegisters()
{
    regs.val = 0xffff;
}
    
// CRC输入一个bit
void crcInputBit(bit in)
{
    bit a;
    
    a = regs.bits.bit0 ^ in;
    
    regs.bits.bit0 = regs.bits.bit1;
    regs.bits.bit1 = regs.bits.bit2;
    regs.bits.bit2 = regs.bits.bit3;
    regs.bits.bit3 = regs.bits.bit4 ^ a;
    regs.bits.bit4 = regs.bits.bit5;
    regs.bits.bit5 = regs.bits.bit6;
    regs.bits.bit6 = regs.bits.bit7;
    regs.bits.bit7 = regs.bits.bit8;
    regs.bits.bit8 = regs.bits.bit9;
    regs.bits.bit9 = regs.bits.bit10;
    regs.bits.bit10 = regs.bits.bit11 ^ a;
    regs.bits.bit11 = regs.bits.bit12;
    regs.bits.bit12 = regs.bits.bit13;
    regs.bits.bit13 = regs.bits.bit14;
    regs.bits.bit14 = regs.bits.bit15;
    regs.bits.bit15 = a;
}
    
// 输出CRC码(寄存器组的值)
u16 crcGetRegisters()
{
    return regs.val;
}

crcInputBit中一步一步的移位/异或操作，可以进行简化：

void crcInputBit(bit in)
{
    bit a;
    a = regs.bits.bit0 ^ in;
    regs.val >>= 1;
    if(a) regs.val ^= 0x8408;
}

细心的话，可以发现0x8408和0x1021(CRC-ITU的简记式)之间的关系。由于我们是从低到高输出比特流的，将0x1021左右反转就得到0x8408。将生成多项式写成 G(x)=1+x5+x12+x16，是不是更好看一点？

下面是一个典型的PPP帧。最后两个字节称为FCS(Frame Check Sequence)，是前面11个字节的CRC。

FF 03 C0 21 04 03 00 07 0D 03 06 D0 3A

我们来计算这个PPP帧的CRC，并验证它。

    byte ppp[13] = {0xFF, 0x03, 0xC0, 0x21, 0x04, 0x03, 0x00, 0x07, 0x0D, 0x03, 0x06, 0x00, 0x00};
    int i,j;
    u16 result;
    
    /////////// 以下计算FCS
    
    // 初始化
    crcInitRegisters();
    
    // 逐位输入，每个字节低位在先，不包括两个FCS字节
    for(i = 0; i < 11; i++)
    {
        for(j = 0; j < 8; j++)
        {
            crcInputBit((ppp >> j) & 1);
        }
    }
    
    // 得到CRC：将寄存器组的值求反
    result = ~crcGetRegisters();
    
    // 填写FCS，先低后高
    ppp[11] = result & 0xff;
    ppp[12] = (result >> 8) & 0xff;
    
    /////////// 以下验证FCS
    
    // 初始化
    crcInitRegisters();
    
    // 逐位输入，每个字节低位在先，包括两个FCS字节
    for(i = 0; i < 13; i++)
    {
        for(j = 0; j < 8; j++)
        {
            crcInputBit((ppp >> j) & 1);
        }
    }
    
    // 得到验证结果
    result = crcGetRegisters();