格林函数法四、格林函数法
本节研究的问题： 如何借助于有关点电荷的较简单的边 值问题解决较复杂的边值问题。
为此，我们先说明点电荷密度的数学表示，然后利用格林 公式把一般边值问题和有关点电荷的相应问题联系起来。 第一类边值问题 ： 给定V内电荷分布ρ和V的边界S上各点的电势|s 第二类边值问题 ： 给定V内电荷分布ρ和电场法向分量/n|s
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1、点电荷密度的δ函数表示
δ函数定义
v v δ (x ) = 0, 当x ≠ 0, v v ∫ δ (x )dV = 1, 若积分区域V包含x = 0点
V
处于x’点上的单位点电荷的密度用函数δ(x－x')表示
v v v ρ ( x ) = δ ( x x ′)
则有
v v v v δ (x x ′) = 0, 当x ≠ x ′, v v v v ∫ δ (x x ′)dx = 1, 当x′ ∈ V
V
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δ函数有如下重要性质：
若f(x)为在原点附近的连续函数，V包括原点在内，有
∫
V
v v f ( x )δ ( x )dV = f (0)
同样，若V包括x’点在内，而f(x)在x=x’点附近连续，由 δ函数定义可推出
∫
V
v v v v v f ( x )δ ( x x ′)dx = f ( x ′)
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2、格林函数 一个处于x'点上的单位点电荷 所激发的电势满足泊松方程 第一类边值问题的格林函数 泊松方程满足第一类边界条件的解 第二类边值问题的格林函数 泊松方程满足第二类边界条件的解 格林函数所满足的微分方程为
1 v v v ( x ) = δ ( x x ′)
2
ε0
v v v v 1 G ( x , x′ ) = ε 0 δ ( x x′ )
2
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上节中我们实际上已求出 一些区域的格林函数。现列举 几种区域的格林函数为例。
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