原创 几种常见窗函数的特性

上一篇谈了FIR滤波器的加窗是什么，但是自觉得还是有些地方没有说明白，就好比模拟加窗过程都没有讲明白。

不过今天再看书时，又有所得，忽然明白了为什么模拟加窗过程出了问题，这是由于我之前对于数字滤波器的设计过程还很模糊。

窗函数设计法的设计思路：

• 给定要求的理想频响，一般为分段常数

• 转为时域设计，所以需要求出

• 由于是无限时长的，所以需要加窗截断为，窗的长度为N

因为窗函数是在时域内截断，所以需要将理想滤波器转换到时域来处理。

• 求出加窗后的实际频响

• 检查是否满足，不满足就重复3、4步骤

我使用的子程序是书上提供的，可以产生一个理想滤波器。

今天突然对这个程序有了新的理解。因为这个是子程序产生的时域的滤波器，为了能够在电脑中存储，本来就已经加了一个矩形窗，因此它的频域波形存在波纹；而我又加一个矩形窗，对这个已经加了矩形窗的滤波器当然是一点效果都没有咯。

回到今天的主题，今天探讨一下几种常见滤波器的特性和使用场景。

翻了很多遍书，发现对于滤波器的设计，主要关心的是过渡带宽(Transition bandwidth)、通带边沿衰减(Passband ripple)、阻带最小衰减(Minimum stopband attenuation)，而且大部分的参数都是用dB作单位。

使用dB做单位的好处有：

• 数值变小。由于分贝是取对数值，所以能很方便的表示大的数量的变化

• 运算方便。放大器级联时，总的放大倍数是各级相乘。用分贝做单位时，总增益就是相加。

• 方便感知。人对强度（光照、声音）的感知，接近于于强度的对数的正比。

至于为什么要这么多种窗呢？那是因为不同的窗特性不一样，比如最简单的矩形窗，虽然完成了截断工作，但是通带衰减大、阻带衰减小，导致能量的浪费；而之后的多种窗则或多或少的弥补了这些缺点。

矩形窗的定义为

频率响应函数为

因此

下面分析窗函数的主要参数：

1. 幅度响应第一个零点在

因此，主瓣宽度为为，因此传输带宽近似于

2. 第一个旁瓣大概在的位置，因此它的幅值为

对比主瓣的幅值，旁瓣幅值峰值为

由于吉布斯现象，矩形窗存在一个0到1的越变；而三角形窗则提供了一个比较缓慢的变化，它的定义式为：

谱密度函数表达式如下，'≈'仅当时成立

主瓣宽度为，旁瓣峰值衰减为25dB

这是一个升余弦窗，被定义为

主瓣宽度为，旁瓣峰值衰减为31dB

海明窗和汉宁窗很像，不同的是它有一部分是不连续的，被定义为

主瓣宽度为，旁瓣峰值衰减为41dB

这个窗函数和前两个窗函数很像，不过增加了升余弦的二次谐波分量，被定义为

主瓣宽度为，旁瓣峰值衰减为57dB

这是一个非常有用的窗函数，它可以同时调整主瓣宽度与旁瓣宽度，这是其他窗函数不具备的，被定义为

是第一类零阶贝塞尔函数，是用来调整窗函数性能的参数

本人使用的

选择窗函数可以参考前文中的窗函数设计法

先确定自己的需求，然后根据窗函数的极限性能，做出选择，最后再验证这个窗函数是否符合需求

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本文中的代码已上传本人的github，点击阅读原文可打开

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参考书籍：

• Digital Signal Processing Using Matlab v4.0 John G. Proakis

• 《数字信号处理教程》 程佩青

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