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1.基于I值的“关键条件” 图 3.9 降压电路CCM、BCM和DCM模式下的电感电流波形 参考上图3.9，降压电路工作在BCM模式的条件是，负载电流等于纹波电流（峰峰值）的一半（即 Iout=∆iL/2 ），也被称为CCM与DCM的“关键条件”或“临界条件”。所以，我们将基于I（负载电流）值的“关键条件”重新表述如下： ∆iL/2 时，降压电路工作在CCM模式； 当 Iout=∆iL/2 时，降压电路工作在BCM模式； 当 Iout<∆iL/2 时，降压电路工作在DCM模式。 2.基于R值的“关键条件” 根据“3.2.7 电感的平均电流”章节的结论：降压电路中，电感电流平均值等于负载电流Iout。同时，再将负载电流 Iout使用输出电压 Vout 和负载电阻 R 表示如下： Iout=Vout/R (3.69) 基于TOFF期间的电感关系式∆iL=Vout*Toff/L以及Toff=(1-D)*Tsw，可得BCM模式下的纹波电流表达式如下： ∆iL=Vout*(1-D)*Tsw/L (3.70) 那么，将上述两式(3.69)和(3.70)代入CCM与DCM的“关键条件” Iout=∆iL/2 可得： Vout/R = Vout*(1-D)*Tsw/(2*L) (3.71) 从而，解出BCM模式下基于负载电阻R值的“关键条件”表达式如下： R = (2*L)/ =Kcrit(R) (3.72) 所以，实际负载电阻 R 值与 Kcrit (R) 的大小关系有如下三种： 当 R < Kcrit (R) 时，降压电路工作在CCM模式； 当 R = Kcrit (R) 时，降压电路工作在BCM模式； Kcrit (R) 时，降压电路工作在DCM模式。 3.基于K值的“关键条件” 这里，根据公式(3.71)解得CCM/BCM关断期间的占空比(1-D)的表达式如下： 1-D=(2*L)/(R*Tsw) (3.73) 然后，将上述公式重新表示如下： Kcrit(D)=K (3.74) 其中，Kcrit(D) = 1-D，K = (2*L) / (R*Tsw)。 无量纲参数K值，表示开关转换器电路趋向工作在DCM模式的程度。在降压电路的感值 L 、开关周期 Tsw和负载电阻值 R 都确定的情况下，实际K值是常数。对于固定占空比的降压电路，较大的K值可以使电路工作在CCM模式，较小的K值将导致电路工作在DCM模式。 Kcrit (D) 条件下降压电路工作在CCM模式 如图3.10所示，当降压电路的实际K值大于1时，也必然大于临界K值 Kcrit (D)=1-D （因为这个占空比函数是一条在 (0,1) 和(0,1) 之间的线段），这时降压电路工作在CCM模式。 图 3.11 0

在 BUCK电路的直流增益和直流传递函数(2) 、 BUCK电路的直流增益和直流传递函数(3) 文章中，我们利用“伏秒平衡”推导出了公式(3.51)，利用“安秒平衡”推导出了公式(3.57)。 将公式(3.51)代入公式(3.57)，稍加整理，可得： 继续整理，最终得到了关于(VIN/VOUT)的一元二次方程(3.62) 解上述方程，得到降压电路DCM模式下的直流传递函数为 基于公式(3.60)或者(3.68)，都可以解出BUCK电路在DCM模式下的占空比表达式为 其中，K=2L/(R*Tsw)=2*L*Fsw/R。 因为 K = 2L / (R*Tsw) = 2*L*Fsw / R = 2*L*Fsw*Iout / Vout，所以BUCK电路在DCM模式下的占空比又可以表示为 或者，有些资料里也表示为 推导完毕。 另外，我们知道，BUCK电路CCM模式下的占空比表达式为D = Vout / Vin；相比之下，BUCK电路DCM模式下的占空比表达式要复杂很多，控制策略也复杂很多。 更多内容，参考原文 “BUCK电路的DCM模式占空比，你会推导吗？”...

占空比（Duty Cycle），定义为开关电源电路中开关管导通时间 T_ON 占整个开关周期 T_SW 的比例，即 ——降压电路占空比的表达式1 这里需要注意的是，这里的“导通时间 T_ON ”特指非同步降压电路中“开关管”（而不是续流二极管）或同步降压电路中“高边开关管”（而不是低边开关管）的导通时间。 在连续导通模式(CCM)下开关周期 T_SW 等于导通时间 T_ON 和关断时间 T_OFF 之和，即 T_SW=T_ON+T_OFF (3.95) 从上述公式(3.94)和(3.95)，可以解得导通时间和关断时间的表达式分别为 T_ON=D×T_SW=D/F_SW (3.96) T_OFF=(1-D)×T_SW=((1-D))/F_SW (3.97) 四个公式(3.94)、(3.95)、(3.96)和(3.97)包含了四个参数，T_ON 是降压电路的导通时间，T_OFF 是关断时间，T_SW 是开关周期，D 是占空比。从这四个公式和四个参数中可以发现，只要确定了其中的任意两个参数，其他两个参数也就可以确定。 将公式(3.95)(3.96)代入公式(3.94)可以得到基于 T_ON 和 T_OFF 这两个参数的降压电路的占空比为 D=T_ON/(T_ON+T_OFF ) (3.98) ——降压电路占空比的表达式2 因为在开关电源电路中，开关频率是开关周期的倒数，即 F_SW=1/T_SW 。根据公式(3.96)，降压电路的占空比又可以表示为 D=T_ON×F_SW (3.99) ——降压电路占空比的表达式3 根据公式(3.97)，降压电路的占空比又可以表示为 D=1-T_OFF×F_SW (3.100) ——降压电路占空比的表达式4 参考“3.1.2 什么是电感伏秒平衡？”章节内容，由公式(3.26)（V_(L,ON)×T_ON=V_(L,OFF)×T_OFF）可知 T_OFF=V_(L,ON)/V_(L,OFF) ×T_ON ，将其代入公式(3.98)（D=T_ON/(T_ON+T_OFF )），可得基于电感电压的占空比表达式为 D=T_ON/(T_ON+V_(L,ON)/V_(L,OFF) ×T_ON )=1/(1+V_(L,ON)/V_(L,OFF) )=V_(L,OFF)/(V_(L,ON)+V_(L,OFF) ) (3.101) ——降压电路占空比的表达式5 参考“3.1.2 什么是电感伏秒平衡？”章节内容，将公式(3.15)（V_(L,ON)=V_IN-V_(DS(ON)-H)-V_DCR-V_OUT）和(3.21)（V_(L,OFF)=V_DCR+V_D+V_OUT）代入上述公式(3.101)，可得非同步降压电路的占空比为 D_(BUCK,NON-SYNC)=(V_OUT+V_D+V_DCR)/(V_IN+V_D-V_(DS(ON)-H) ) (3.102) ——降压电路占空比的表达式6 将上述公式中续流二极管压降 V_D 使用低边开关管压降 V_(DS(ON)-L) 代替，可得同步降压电路的占空比为 D_(BUCK,SYNC)=(V_OUT+V_(DS(ON)-L)+V_DCR)/(V_IN+V_(DS(ON)-L)-V_(DS(ON)-H) ) (3.103) ——降压电路占空比的表达式7 上述，公式(3.102)和(3.103)是考虑了“寄生参数”时降压电路(BUCK)占空比的表达式，是降压电路实际工作的占空比。 这里需要知道的是，“寄生参数 V_(DS(ON)-H) 、 V_(DS(ON)-L) 、 V_DCR 和 V_D”和“转换效率”的概念，可以认为是等同的；“忽略寄生参数 V_(DS(ON)-H) 、 V_(DS(ON)-L) 、 V_DCR 和 V_D”也就意味着“假设转换效率是100%”。 从后续“3.4 降压电路的功率、损耗和效率”章节内容可知，正是这些寄生参数包括 V_(DS(ON)-H) 和 V_(DS(ON)-L) 等影响了转换效率，寄生参数与转换效率成反比关系。 既然“寄生参数”和“转换效率”等同，公式(3.102)和(3.103)是基于“寄生参数”的BUCK电路占空比的表达式。那么，基于“转换效率”的BUCK电路占空比该如何表达呢？ 参考“3.3.12 输入端和输出端的平均电流”章节输入电流公式(3.320)（ I_IN=D×I_OUT ），“3.4.1 输入功率、输出功率、损耗功率和效率”章节输入功率、输出功率和效率公式(3.324)（ P_IN=V_IN×I_IN ）、(3.325)（ P_OUT=V_OUT×I_OUT ）和(3.326)（ 〖η=P〗_OUT/P_IN ），可得 V_OUT×I_OUT=η×V_IN×I_IN=η×V_IN×(D×I_OUT ) ，由此解出占空比如下所示： D_BUCK=V_OUT/〖η×V〗_IN (3.104) ——降压电路占空比的表达式8 这里，就是基于“转换效率”的BUCK电路占空比的表达式。 综上所述，在非同步和同步降压电路中，因为寄生参数 V_(DS(ON)-H) 、 V_(DS(ON)-L) 、 V_DCR 和 V_D 相对输入电压 V_IN 和输出电压 V_OUT 来说，是比较小的。所以，如果“忽略寄生参数 V_(DS(ON)-H) 、 V_(DS(ON)-L) 、 V_DCR 和 V_D”或“假设转换效率是100%”，在多数工程计算中，非同步和同步降压电路的占空比通常被简化为 D_BUCK=V_OUT/V_IN (3.105) ——降压电路占空比的表达式9 这里，公式(3.105)就是不考虑“寄生参数”（在公式(3.102)和(3.103)中直接忽略寄生参数）或“转换效率”（在公式(3.104)中 η=100% ）时降压电路(BUCK)的占空比表达式，也是被最广泛使用的BUCK电路的占空比表达式。 在工程计算中，如果考虑“转换效率”这个参数，BUCK电路占空比就使用“表达式8”，即公式(3.104)；如果不考虑“转换效率”（也就意味着“假设转换效率是100%”），BUCK电路占空比就使用“表达式9”，即公式(3.105)。

------------------------------------------------ 3.1.5 降压电路的直流增益和直流传递函数 3.1.5.1 CCM模式的直流增益和直流传递函数 1、基于 ∆I_(L,ON)=∆I_(L,OFF) 方法推导 2、基于〈V_L 〉=0 方法推导 ------------------------------------------------ 3.1.5 降压电路的直流增益和直流传递函数 降压电路的电压转换比（Voltage Conversion Ratio）或直流电压增益（Voltage Gain），定义为输出电压 V_OUT 与输入电压 V_IN 的比值，公式如下： 3.1.5.1 CCM模式的直流增益和直流传递函数 图 3.3 降压电路CCM模式的电感电压和电流波形 1、基于 ∆I_(L,ON)=∆I_(L,OFF) 方法推导出降压电路CCM模式下的直流增益和直流传递函数 我们已经在 什么是电感伏秒平衡？如何推导？ 章节推导出了公式(3.28)，如下所示： 这里，提前引用 “3.1.6.1 CCM模式下的占空比” 章节的公式3.83（ T_ON = D×T_SW ）和3.84（ T_OFF = (1-D)×T_SW ），将这两个公式代入公式 (3.28) 消去开关周期 T_SW 可得： 由此，解得降压电路增益的表达式为（同时，将CCM模式下的占空比使用 D1 表示）： 这就是降压电路工作在CCM模式下的增益；可见，与占空比是相等的。完整的表述是，降压电路工作在CCM模式下的增益 M_CCM 等于占空比 D1 。 注意，“降压电路的增益等于占空比”这个表述，仅限于在“降压电路工作在CCM模式”这个条件下，降压电路工作在DCM模式下的增益与占空比是不相等的。 参考“问题3.1.1-3：降压电路的占空比最小值和最大值的限制因素是什么？”内容，因为降压电路占空比的取值范围是0至1之间，所以降压电路的增益也必然小于1，也就意味着降压电路的输出电压必然小于输入电压（即 V_OUT

------------------------------------------------ 0 综述 1 通过数学方法推导出4种功率计算公式 2 当 I1 = I2 时，平均电流与有效电流分别是多少… 3 当 I1 ≠ I2 时，平均电流与有效电流差值有多大，取决于电流波动有多大… 4 总结 ------------------------------------------------ 0 综述 本文通过数学方法推导出4种功率计算公式（即P11、P12、P21和P22）；然后给出了功率计算公式 P = (I^2)*R 的适用性；最后，说明了平均电流与有效电流差值大小的决定因素。 1 通过数学方法推导出4种功率计算公式 图1 瞬时电流波形 图1所示，假设有两个电流、两个开关、一个负载电阻，加载到负载电阻上的周期电流信号为I1和I2，我们将分别基于I1和I2的平均值和有效值，平方之后再平均，平均之后再平方，通过数学方法看它们的差异。 图1所示，瞬时电流波形表示如下： 1.1 先分别计算T1和T2两段时间内的能量（也就是先平方），然后再平均，计算功率，如下所示： 1.2 先计算TSW周期内的平均电流（也就是先平均），然后再平方，计算功率，如下所示： 1.3 分别计算T1和T2两段时间内的RMS电流，然后先平方再平均，计算功率，如下所示： 1.4 先计算TSW周期内的RMS电流（也就是先平均），然后再平方，计算功率，如下所示： 1.5 总结对比 2 当 I1 = I2 时，平均电流与有效电流分别是多少… 当 I1 = I2 时，我们使用I2替换公式(0.3)和(0.8)中的I1，可得： 使用 I^2×R 分别计算功率，可得： 综上所示，当 I1 ≠ I2 时，对比功率计算公式(0.4)和(0.9)可以发现，功率P12和P22是不同的。当 I1 = I2 时，对比功率计算公式(0.12)和(0.13)可以发现，功率P13和P23是相同的。这就从理论上说明了： ① 使用 I^2×R 计算功率时，其中的电流参数 I 必须是直流电流，不能包含纹波电流分量或交流电流分量。 ② 由欧姆定律可知，直流电压 U = I*R ，P = U*I = (I*R)*I = (I^2)*R 计算得到的就是平均功率。 ③ 当 I1 ≠ I2 时，通过公式(0.2)、(0.7)和(0.9)计算得到的P11、P21和P22才是正确的平均功率，P12是不正确的。这是本文得出的一个很重要的结论。 3 当 I1 ≠ I2 时，平均电流与有效电流差值有多大，取决于电流波动有多大… 我们已经知道了图1中瞬时电流的平均值为公式(0.3)，有效值为公式(0.8) 。参考图1，两个电流的差值为 I1 – I2 = ∆I ，我们用I2和∆I表示I1，可得 I1 = I2 + ∆I ，并将其分别代入公式(0.3)和(0.8)，可得： 由此可知，平均值与有效值在经验上几乎相等，是因为周期信号的波动比较小，具体到这里就是因为 ∆I 比较小。我们使用极限的思维，当 ∆I 越来越小，最后会趋向于零，即 ∆I = 0 ；此时公式(0.14)和(0.15)分别为： 实际验证如下： (1) 当I1 = 4，I2=2时，可见有效值与平均值差异为0.15，可以认为有效值等于平均值。 (2) 当I1 = 50，I2=2时，可见有效值与平均值差异为11.03，可以认为有效值等于平均值吗… (3) 当I1 = 100，I2=2时，可见有效值与平均值差异为23.39，可以认为有效值等于平均值吗… 4 总结 (1) 通过数学方法推导出4种功率计算公式（即P11、P12、P21和P22）。 (2) 使用 I^2×R 计算功率时的条件是，其中的电流参数 I 必须是直流电流，不能包含纹波电流分量或交流电流分量；这样，在计算功率时，无论是“先平方再平均”，还是“先平均再平方”，得到的结果才是等同的，即P13和P23是相同的。否则，当电流参数 I 中包含纹波电流分量或交流电流分量时，“先平方再平均”与“先平均再平方”，得到的结果就是不同的。 这里直流与交流的边界，会导致功率计算结果的适用性不同，类似于BUCK电路会因为负载电流等边界的影响，导致有CCM和DCM两种完全不同的工作逻辑（DCM会比CCM复杂很多，具体可参考“ BUCK电路CCM与DCM的临界条件是什么？ ”）。 另外，当 I1 ≠ I2 时，通过公式(0.2)、(0.7)和(0.9)计算得到的P11、P21和P22才是正确的平均功率，P12是不正确的。这是本文得出的一个很重要的结论。 (3) 通过理论与验证说明了，平均电流与有效电流差值有多大，取决于电流波动有多大。电流波动越大，平均电流与有效电流的差值也就越大。 以BUCK电路为例，我们通常设定纹波电流为负载电流的0.3倍，所以平均电流与有效电流的差值相对较小。 更多内容参考 “功率计算，先平方再平均，还是先平均再平方？这是个问题…”