• 1.1 定义

• 1.2 判断条件

• 1.3 为什么要有平衡二叉树？

• 2.1 原理

• 2.2 构建BST（平衡）

• 3.1 对KD-Tree的理解

• 3.2 生成KD-Tree

• 3.3 最近邻搜索

• 3.4 Python代码

• 3.5 细节点理解

• 3.5.1 分割维度的选择

• 3.5.2 为什么选取中位数作为分割点？

一、平衡二叉树AVL

1.1 定义

任意节点的子树的高度差都小于等于1。英文：Balanced Binary Tree, BBT 或者 AVL。

1.2 判断条件

（1）是二叉排序树；

（2）任何一个节点的左子树、右子树都是平衡二叉树，即左右高度差都小于等于 1。

1.3 为什么要有平衡二叉树？

为了提高搜索效率。比如基于这种数据构建得到如下二叉树：

上图二叉树就像一个链表，因此搜索效率为。基于二分查找的思想，构建平衡二叉树之后，搜索效率将为：

二、二叉搜索树

2.1 原理

对一维数据常用的查找/搜索方法是二分查找，时间复杂度为，二分查找本质上是一棵二叉搜索树（Binary Search Tree, BST），是以空间换取时间。二叉搜索树可以任意构造，但不同的二叉树会导致查找效率不尽相同，若想最大性能构造一个二叉搜索树，就需要它是平衡的，即平衡二叉树AVL。

2.2 构建BST（平衡）

使用递归的方式构建平衡二叉搜索树：

import matplotlib.pyplot as plt import matplotlib.lines as mlines class Node(object): def __init__(self, value, left, right): self.value = value
        self.left = left
        self.right = right # 计算树高 def get_height(self): layers = [self]
        height = 0 while layers:
            height += 1 new_list = [] for node in layers: if node.left:
                    new_list.append(node.left) if node.right:
                    new_list.append(node.right)
            layers = new_list return height # 二叉树可视化 def visualize(self, axis='off'): '''
            基本算法： 将树状结构映射到二维矩阵中，
            如果节点左右下方有节点则把该节点加入到矩阵中的坐标中，
            如节点（x,y）左下方有节点则把节点放入(x+offset,y+1)
            offset为x坐标偏移量，
            offset = 2**(len(matrix)-y-2)
        ''' figure, axes = plt.subplots(figsize=(8, 6), dpi=80)
        height = self.get_height()
        width_ = 2 ** (height - 1)
        width = 2 * width_ + 1 matrix = [[[] for x in range(width)] for y in range(height)]

        matrix[0][width_] = bst_tree # put head in the middle position for y in range(len(matrix)): for x in range(len(matrix[y])):
                node = matrix[y][x] if node:
                    x1, y1 = (1 / width) * (x + 0.32), 1 - (1 / height) * y - 0.21 axes.text(x1, y1, str(node.value), color='white', fontsize=FONT_SIZE, fontweight='bold')
                    offset = 2 ** (len(matrix) - y - 2) if node.left:
                        matrix[y + 1][x - offset] = node.left
                        x2, y2 = (1 / width) * (x - offset + 0.5), 1 - (1 / height) * (y + 1) - 0.2 line = mlines.Line2D([x1, x2], [y1, y2], zorder=-1)
                        axes.add_line(line) if node.right:
                        matrix[y + 1][x + offset] = node.right
                        x2, y2 = (1 / width) * (x + offset + 0.5), 1 - (1 / height) * (y + 1) - 0.2 line = mlines.Line2D([x1, x2], [y1, y2], zorder=-1)
                        axes.add_line(line)
                    cc = plt.Circle(((1 / width) * (x + 0.5), 1 - (1 / height) * y - 0.2), 1 / width / 2 * NODE_SIZE_SCALE, color='blue')
                    axes.set_aspect(1)
                    axes.add_artist(cc)

        plt.axis(axis)
        plt.show() # 使用递归的方式构建二叉搜索树 def make_binary_search_tree(data): if not data: return data.sort()
    mid = len(data) // 2 tree = Node(data[mid], # 中间节点数据 make_binary_search_tree(data[:mid]), # 左子树 make_binary_search_tree(data[mid+1:])) # 右子树 return tree


FONT_SIZE = 20 NODE_SIZE_SCALE = 1 X = [3, 6, 5, 2, 4, 1, 7] if __name__ == '__main__':
    bst = make_binary_search_tree(X)
    bst.visualize()

运行结果：

要求找到距离输入数据=2.1最近的节点，若使用线性搜索，那么需要进行7次比较，时间复杂度为；

若使用二叉树搜索，只需要先和根节点4比较：2.1<4，此时记录最短距离d=1.9；进入左子树继续和2比较：2.1>2，更新最短距离d=0.1；进入右子树继续和3比较，此时两节点距离为0.9，0.9>0.1，因此最短距离就是0.1，且最近节点为2。使用二叉搜索树只需要3次就能找到最近节点，搜索的时间复杂度为。

三、KD-Tree

3.1 对KD-Tree的理解

对于多维数据，可以使用二叉树在 K 维（在激光雷达中，一般使用三维点云，所以KD-Tree的维度K=3）空间上的扩展 KD-Tree，它的时间复杂度也能近似达到，实际上它的时间复杂度介于和之间。KD-Tree本质上是一种特殊的数据结构——基于空间的平衡二叉树。KD-Tree是每个节点都有k维数据的平衡二叉树，每个节点代表一个超平面，该超平面垂直于当前划分维度的坐标轴，并在该维度上将空间划分为两部分。KD-Tree两个关键问题：① 树的建立；②最近邻域搜索。

KD-Tree和二叉搜索树的不同点在于，二叉搜索树每个节点只有一维特征，所以构建二叉搜索树时只需要根据这一维数据进行划分即可；对于多维数据，KD-Tree的划分策略是交替地使用每一维特征进行划分。KD-Tree会将三维空间分割成下图形式：

KD-Tree本质上就是一种数据结构，它的优点：① 搜索效率高；② 它是自平衡的，所以插入、删除数据也能保持高效；③ 易于实现。

3.2 生成KD-Tree

（1）初始化树深为和KD-Tree维度为数据维度；

（2）计算当前划分维度，对当前维度数据进行排序并取其中位数；

（3）将该中位数作为分割点，并将其所在数据对作为当前根节点；

（4）将该维度数据小于该中位数的数据对传给当前根节点的左子树，将该维度数据大于该中位数的数据对传给当前根节点的右子树；

（5）递归执行步骤（2）~（4），直到所有数据都被建立到KD-Tree的节点上为止。

3.3 最近邻搜索

（1）从根节点出发进行查找，根据树深计算当前的分割维度split，若目标结点在分割维度上的数据小于当前节点，则进入左子树遍历，否则进入右子树遍历；

（2）重复步骤一，直到找到叶子节点，记录当前目标节点和当前节点的距离为最小距离，当前节点为最近节点，并开始回溯；

（3）回溯过程中若当前节点与目标节点距离更近，则更新最近节点及最小距离；并且判断是否需要遍历另一边子树：若当前节点在分割维度上的数据与目标节点在分割维度上的数据间的距离小于当前最小距离，则进入另一边查找，否则向上回溯；

（4）回溯到根节点，同样比较根节点在当前分割维度上的数据与目标节点在分割维度上的数据间的距离小于当前最小距离，则需要查找根节点的另一边子树，否则直接退出。

整体思想：二分查找+回溯。

细节点：回溯到某个节点，比较该节点和目标节点之间的距离时并不是计算欧氏距离（其实使用欧氏距离也可以），而是在当前分割维度上的数据之差，这是因为多维数据进行二分查找分割时，使用的是平行于某个坐标轴的超平面，每次判断是否查找另一边，是通过以目标节点为圆心，当前最小距离为半径做圆，判断当前分割面是否和该圆相交，如果不相交，那么说明该分割面另一边的点距离目标节点都更远，则不需要再查找；若相交，则说明分割面另一边可能存在距离目标节点更近的点，则需要查找另一边。

3.4 Python代码

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 创建Node类型 class Node(object): def __init__(self, value, left=None, right=None): self.val = value
        self.left = left
        self.right = right # 创建KDTree类型 class KDTree(object): def __init__(self, K): self.K = K # 建树 def build_tree(self, data, depth): l = len(data) if l == 0: return None split = depth % self.K # 当前分割维度 sorted_data = sorted(data, key=lambda x: x[split]) # 按照某个维度数据进行排序 mid_idx = l // 2 left_data = sorted_data[:mid_idx]
        right_data = sorted_data[mid_idx+1:] # mid_idx已经作为当前层根节点了，所以不能加mid_idx这个数据对 cur_node = Node(sorted_data[mid_idx]) # 将中位数作为当前根节点 cur_node.left = self.build_tree(left_data, depth + 1) # 递归构建当前根节点左子树 cur_node.right = self.build_tree(right_data, depth + 1) # 递归构建当前根节点右子树 return cur_node # 计算欧氏距离 def cal_dis(self, point1, point2): return np.linalg.norm(np.array(point1) - np.array(point2)) # 最近邻搜索（1个target） def search_nn(self, tree, target): self.near_dis = None self.near_point = None def dfs(node, depth): if not node: return # 第一步要先找到叶子节点，之后再进行回溯 split = depth % self.K if target[split] < node.val[split]: dfs(node.left, depth + 1) # 该行包括下面的dfs行，第一个参数输入都是某个节点node.left或node.right，所以本质上该节点node并没有改变，每次改变的都是函数输入参数，所以当dfs递归结束并回退到该位置时，该节点没有变化，以此实现回溯上一个节点的过程！ else:
                dfs(node.right, depth + 1) # ======= 到这结束就已经找到了某个路径下最终叶子节点 ======= # 开始回溯，以当前叶子节点和目标节点的距离作为初始的最小距离 dis = self.cal_dis(node.val, target) if not self.near_dis or dis < self.near_dis: self.near_dis = dis self.near_point = node.val # 判断是否遍历该节点另一边子树 if abs(node.val[split] - target[split]) < self.near_dis: if target[split] < node.val[split]: # 第一次从上往下遍历时目标节点值小于当前节点值时，就遍历左边；回溯时因为要遍历另一边，所以刚好相反！ dfs(node.right, depth + 1) else:
                    dfs(node.left, depth + 1)

        dfs(tree, 0) return self.near_point if __name__ == "__main__": # dataset, target, K = [[2, 3], [5, 4], [9, 6], [4, 7], [8, 1], [7, 2]], [1, 5], 2 N_points, K = 64, 2 dataset = np.random.rand(N_points, K) # 生成随机的三维坐标数据 target = np.random.rand(1, K)[0] # 目标点坐标 tree = KDTree(K) # 构建kdtree类 my_tree = tree.build_tree(dataset, 0) # 使用数据构建kdtree nearest_point = tree.search_nn(my_tree, target) # 求最近邻坐标点 print('Nearest Point of {}: {}'.format(target, nearest_point))
    plt.scatter([x[0] for x in dataset], [x[1] for x in dataset], c='blue', label='train_data')
    plt.scatter(target[0], target[1], c='red', label='target')
    plt.plot([nearest_point[0], target[0]], [nearest_point[1], target[1]], c='green', label='Nearest Point', linestyle='--')
    plt.legend()
    plt.show()

运行结果：

3.5 细节点理解

3.5.1 分割维度的选择

（1）选择方差最大的特征

方差大说明该维度的数据相对分散，因此选择该特征进行分割可以获得更好的平衡。但可能会出现许多长条的分割，如右图。

（2）轮流选择

计算方差也是一笔开销，所以通常选择最简单的做法：轮流选择。（计算方式：用树深对K取模）

（3）选择数据维度最大的那一维

能够解决方法一可能导致的许多长条分割问题，该方法对最近邻搜索是十分友好的。

3.5.2 为什么选取中位数作为分割点？

借鉴BST思想，选取中位数，尽量让左子树和右子树数量一致，便于二分查找，降低查找时间复杂度。

（本文完整的pdf请关注“张张学算法”，并回复“027”获取~）