为了将PWM信号转成直流，需要利用低通滤波器滤除PWM信号中的高次谐波信号。

多阶RC低通滤波是一种比较常用的方法，如下图的二阶RC滤波电路：

用于PWM转直流的二阶RC滤波电路

拉普拉斯变换

单位阶跃信号定义为：

单位阶跃信号

其拉普拉斯变换定义为：

单位阶跃信号的拉普拉斯变换

如果PWM信号的高电平为VH，当输出高电平时，输出信号的拉普拉斯变换为：

电容C3，C4在频域下的阻抗分别为以及,得到频域下的等效电路和参数：

频率下的电路和参数

Octave符号运算

当输入信号时，根据频域下的电路，可以计算出电容C4两端的电压。

涉及到分式多项式的运算，运算量大，容易算错。

可以使用Octave的符号运算快速得到结果。

Symbolic符号运算包需要用到Python的SymPy库。

在Octave的命令行窗口，运行pkg install -forge symbolic，下载symbolic符号运算包，

再运行pkg load symbolic，加载symbolic符号运算包。

运行以下脚本：

syms R3 R4 C3 C4 s VH ZC4=1/(C4*s);%电容C4的阻抗 ZC3=1/(C3*s);%电容C3的阻抗 Z1=R4+ZC4;%Z1为R4与C4串联 Z2=ZC3*Z1/(ZC3+Z1);%Z2为C3与Z1并联 Vo=VH/s*Z2/(Z2+R3)*ZC4/Z1;%C4两端的电压为Z2与R3分压之后，再由C4与R4分压 simplify(Vo)%化简符号表达式

Octave符号运行过程

得到电容C4两端电压Vo(s)为：

（式1）

拉普拉斯逆变换

假设分别为方程

的两个根，

则根据韦达定理，有：

而可以表示为：

对于形如的多项式，

可以转换为：

左右两边同时乘以s,得到，

在上式中，令s=0，得到：

左右两边同时乘以之后，令,得到：

同样得到，

所以，

根据拉普拉斯的逆变换，

常见的拉普拉斯变换对

得到，C4两端的电压在时域的表达式为：

（式2）

PWM输出直流的纹波分析

当R3=R4=10kΩ，C3=C4=1uF时，

分别是以下方程的两个根，

的两个根，

根据求根公式，得到,

的两个根，

假设，

当PWM的频率为800Hz时，占空比为100%时，充电的最长时间为1.25ms，

此时，最大为-38.2*1.25ms=-0.04775<1，

而最大为-261.8*1.25ms=-0.32725<1，

常见函数的泰勒公式展开

将函数，用泰勒公式展开，并保留至第二项；

得到：

，

，

代入式2，得到：

（式3）

当考虑PWM输出一段时间之后，PWM在切换到高电平的瞬间，电容C4已经有一定的电压U0，则式1应该加到电容C4的初始电压，再经过拉普拉斯逆变换，得到，

--对于电容初始电压不为0的情况，此处分析有误，在另一篇文章的再做详细分析。

充电波形

当高电平为5V，占空比为50%时，纹波大小为：