1.连续时间周期信号的傅里叶级数分析

任何一个周期为T的正弦周期信号，只要满足狄利克里条件，就可以展开成傅里叶级数，(至于为什么能展开傅里叶级数和什么是狄利克利条件，这里先不说，我们知道有这样的结论就好)。三角形式的傅里叶级数为：

或写成合并的形式：

其中(这里用括号代表下标)w(0)=2*pi/T, a(0),a(k),b(k)分别代表直流分量，余弦分量幅度，正弦分量幅度，C(k),

傅里叶级数就是说一个周期信号能够由无限个不同频率的正弦信号组成，这些正弦信号称为谐波分量，而频率随着k的增大而增大，k=1为一次谐波，k=2为二次谐波，可知谐波的次数越大，频率就越大(越往后的谐波分量在这个信号中占的份量就越小，即影响不大所以k可以取到有限)。也可以反过来理解：用无限个正弦谐波分量可以合并成一个任意的非正弦周期信号。(这就可以理解为什么会有用频带滤波器来消除噪音，所谓的噪音可看成是一个频率较小的谐波分量，加到信号上面就使信号变了样，所以这时候要去掉和噪音频率相近(因为不知道噪音频率是多少)的谐波分量就是频带滤波，同样的低通高通也一样，通过对相应的频率进行处理，只不过这时候就要换到频域上面才能进行滤波，上面说到的两个频谱图就是换到频域上的例子)。

由欧拉公式，可以把三角形式的傅里叶级数换成指数形式的傅里叶级数为：

这样周期信号也可以由无限个不同频率的互为谐波关系的周期复指数信号组成。

其中a(k)为指数形式的傅里叶级数的系数。

其实系数a(k)与三角形式中的a(k),b(k)有关系，a(k)=1/2*(a(k)-jb(k)),所以a(k)为一个复数，绝对值为该谐波分量的幅度，相位角可由实数a和虚数b得到。(为什么会有正负呢?这完全是数学运算的结果，只有把负频率项与相应的正频率项成对地合并起来，才是实际的频谱函数。)

2.用MATLAB画出一个周期信号的频谱图

T=2;dt=0.0001;t=-2:dt:2;

>> x1=sin(t);

>> w0=2*pi/T;

>> N=10;

>> L=2*N+1;

>> for k=-N:N; %表示谐波分量

ak(N+1+k)=(1/T)*x1*exp(-j*k*w0*t')*dt;

end

>> phi=angle(ak);

>> subplot(211);

>> f=(-N:N)*w0

>> plot(f,abs(ak))

>> subplot(212);

>> plot(f,phi)

3.非周期信号的傅里叶变换分析

这里就不说明非周期信号的傅里叶变换怎么得来，怎么由离散频率变为连续频率了。直接来两条公式再对公式进行说明。

傅里叶变换和其逆变换：

任意非周期信号，如果满足狄利克里条件，那么，这个信号可以看成是由无穷多个不同频率(这些频率非常的接近，可看作连续)的周期复指数信号的线性组合构成的。每个频率对应的周期复指数信号称为频率分量，其相对幅度为对应频率的|X(jw)|的值，其相位为对应频率的相位X(jw)的相位。

MATLAB实现，由于计算机只能处理有限大小的数，所以只能取一定的值。

>> T=0.01;dw=0.1;

>> t=-10:T:10;

w=-10:dw:10;

for jw=w

X(w+11)=x1*exp(-j*t'*w)*T %计算傅里叶变换

Xf=abs(X); %计算幅度谱

phai = angle(X) %计算相位谱