旋转矩阵为何五花八门

有初学的读者有 这样一个问题：刚学，基础不太好，很勤奋的去网上找讲基础知识的文章，发现同类内容不同的文章讲得不一样，却又都是看起来很对的样子，究竟学哪个才是对的？
对于绕 Z 轴的旋转，网上的文章里有两种表述：

两种表述符号不同无伤大雅，但“负号不在同一位置”就让很多初学者挠头了（头发揪净了都不知道哪个对，Sugar 称此类问题为“揪净问题”）。
上图中都表示“绕 Z 轴旋转的偏航角”，只是转向不同。文中一直是以来定义转角正方向的，上面两个截图中的“第二种表述”是符合笛卡尔右手系规则的，而“第一种表述”与笛卡尔右手系规则正好相反。
对单轴的旋转矩阵最终会影响到最终的姿态旋转矩阵，这里给出下面的 MATLAB 代码，读者要自己动手试一下这个影响究竟是什么样的：

clearclc% cr:cos(roll) sr:sin(roll)% cp:cos(pitch) sp:sin(pitch)% cy:cos(yaw) sy:sin(yaw)syms cr sr cp sp cy sy% RX:Rotate X axis% RY:Rotate Y axis% RZ:Rotate Z axissyms RX RY RZ RX = [ 1 0 0; 0 cr -sr; 0 sr cr]RY = [ cp 0 sp; 0 1 0; -sp 0 cp]RZ = [ cy -sy 0; sy cy 0; 0 0 1]%-----------------from_euler_xyz-----------------% column : x y z% row : a b c% x y z% a [ cp*cy, cy*sp*sr - cr*sy, sr*sy + cr*cy*sp]% b [ cp*sy, cr*cy + sp*sr*sy, cr*sp*sy - cy*sr]% c [ -sp, cp*sr, cp*cr]from_euler_xyz = RZ*RY*RX

至此就不难理解 “在其文章本身环境下”是什么意思了，直白说就是：每个文章对旋转正方向的定义不同，所以公式存在差异。推荐一律采用笛卡尔右手系，这样不容易出错。有些文章是 X-Y 符合笛卡尔右手系规则，而 Z 与笛卡右手系规则相反，那么之后所有的旋转都要把 Z 单独转向才行，这样不利于算法总体的统一。

一起看 ArduPilot 里的旋转矩阵

先看一下从 github 上截的 ArduPilot 旋转矩阵代码的图：

不难看出上面 MATLAB 代码里的注释就是对这段代码写的。这就是“先绕 X 轴旋转、再绕 Y 轴旋转最后绕 Z 轴旋转”的旋转矩阵（网上也有叫“方向余弦矩阵”的）。下面 解释一下旋转矩阵的用法和注意点。

一、列向量左乘旋转矩阵
在笛卡尔三维直角坐标下，一个有方向的线段用三维向量表示。为了能够使用上面的旋转矩阵对向量进行旋转，这个表示有向线段的三维向量要以“列向量”形式存在。所以：

对一个三维列向量施加一个三维旋转的方法就是：将这个三维列向量左乘旋转矩阵。

下面看下用 MATLAB 做的旋转效果：

二、不同的旋转顺序得到不同的结果
 习惯使用的旋转顺序是：X-Y-Z 顺序。就是上面说到的：先绕 X 轴旋转、再绕 Y 轴旋转最后绕 Z 轴旋转。下面 以“横滚 30 度、俯仰 30 度、偏航 90 度”为例，看看“X-Y-Z 顺序”和“Z-Y-X 顺序”有多大差别。

事实说明：同样的旋转角度、不同的旋转顺序，效果可以是天差地别。

三、gimbal lock 万向锁
关于万向锁网上能找到的解释很多，在这里不再赘述。下面 Sugar 通过分步 Z-Y-X 顺序旋转为例，演示一下 gimbal lock 现象在姿态解算上引起的乌龙事件（也说明一下上面 Z-Y-X 顺序的图为什么转成了那个样子）。
按上面的角度，首先绕 Z 轴转 90 度，如下：

上图就是下面乌龙事件的起因，下面我们该绕 Y 轴转出 30 度的俯仰角了，结果却：

因为第一步绕 Z 转遇到了 gimbal lock，所以导致第二步绕 Y 转俯仰角的效果变成了转出横滚的效果。
这里要注意的是：第二步绕 Y 轴转指的是“第一步旋转前的 Y 轴”（是上图中与红色虚线重合的绿色实线，而不是那个绿色虚线）。
下面还剩一步，绕红色实线 X 轴转出 30 度的横滚角。当然，因为第一步的 gimbal lock 导致变成了转俯仰角的效果，如下: