前几天，我通过一顿傅里叶级数展开的生猛操作，在频率域上，深入透彻地分析了PWM信号的谐波幅度以及滤波电路的设计。
但是，事情还没有结束。
对于模拟量输出信号，还需要考虑其输出电流的响应时间。
以4-20mA信号为例，从处理器调整了PWM信号占空比开始计时，至4-20mA的电流调整至该 占空比对应电流结束计时，所得到的时间即为响应时间。
响应时间太长，可能导致对4-20mA所接设备的调节速度不够，使得设备无法响应其负载变化。
甚至可能在检测到故障之后，因为响应时间太长，无法及时关闭设备而导致严重的后果。
我们需要在时序对PWM信号的滤波电路做瞬态分析。
一阶R、C滤波电路的时序分析
以下图所示的一阶R、C低通滤波电路为例，
PWM信号的频率为1.5kHz，占空比为50%，高电平为U。
R1=100kΩ，C1=6.8uF，
一阶R、C低通滤波电路
当PWM信号输入到该电路时，在PWM信号的高电平输出期间，高电平通过R1向C1充电。
在低电平输出期间，C1通电R1向低电平放电。
其波形如下图所示：
PWM信号的充放电波形
在高电平期间，
以t0为0时刻，
该电路的三要素为：
时间常数
,
0时刻的电压
,
时间无限长之后的电压
，
该电路的一阶微分方程，求得电容两端电压的通解为：
根据
，以及
,
得到
，
在
时刻，有
,(式1)。
在低电平时刻，
以
为零时刻，
该电路的三要素为：
时间常数
,
0时刻的电压
,
时间无限长之后的电压
，
该电路的一阶微分方程，求得电容两端电压的通解为：
根据
，以及
,
得到
，
在
时刻，有
泰勒级数展开分析
指数函数
的泰勒级数展开式为：
当
时，舍去二阶小量，有
，所以有：
代入式2，得到：
当
时，增量为0，
所以最终电压会在
附近反复充放电。
进一步移项变形得到：
记
，得到，
这是等比数列，得到：
如果开始时电容电压为0，得到：
因为
所以，当n趋于无穷时，
趋近于0，即
趋近于
即最终达到
的电压。
响应时间分析
当
与目标电压
的相对误差小于0.1%即认为达到了目标电压。
得到：
得到：
当
时，算出n>7043.
对应时间为：
t>15235*0.6667ms=4.7s。
即至少要10s之后，4-20mA的电流与目标值的误差才能小于0.1%。
根据式1得到，纹波为：
纹波系数为：
当占空比为50%，频率为1.5kHz时，如果纹波系数需要小于0.1%，得到：
当
时，误差小于0.1%的响应时间为2.3s。
Multisim仿真验证
Multisim仿真验证
将本文推导得到的式3的计算结果与multisum的测试结果进行比较，结果完全一致，验证了公式的正确性。
结果比对
而电容两端电压从0V上升到2.5*(1-0.1%)=2.4975V所耗费的时间为4.76s，
这与理论计算的4.7s也完全一致。
说明了本文对响应时间评估的正确性。
响应时间测量
结束
当采用一阶R、C滤波电路对PWM进行DAC转换时，可以采用泰勒级数展开得到解析解。
由该解析解，根据实际的纹波系数，响应时间等规格，选择合适的PWM频率、电阻阻值、电容容量等参数。
来源：物联网全栈开发
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