本帖最后由 Killoser 于 2023-3-28 15:19 编辑

本文分享自华为云社区《深入浅出八种排序算法》，作者：嵌入式视觉 。
归并排序和快速排序是两种稍微复杂的排序算法，它们用的都是分治的思想，代码都通过递归来实现，过程非常相似。理解归并排序的重点是理解递推公式和 merge () 合并函数。

  一，冒泡排序（Bubble Sort）

排序算法是程序员必须了解和熟悉的一类算法，排序算法有很多种，基础的如：冒泡、插入、选择、快速、归并、计数、基数和桶排序等。
冒泡排序只会操作相邻的两个数据。每次冒泡操作都会对相邻的两个元素进行比较，看是否满足大小关系要求，如果不满足就让它俩互换。一次冒泡会让至少一个元素移动到它应该在的位置，重复 n 次，就完成了 n 个数据的排序工作。
总结：如果数组有 n 个元素，最坏情况下，需要进行 n 次冒泡操作。
基础的冒泡排序算法的 C++ 代码如下：
  1. // 将数据从小到大排序
  2. void bubbleSort(int array[], int n){
  3. if (n<=1) return;
  4. for(int i=0; i<n; i++){
  5. for(int j=0; j<n-i; j++){
  6. if (temp > a[j+1]){
  7.                 temp = array[j]
  8.                 a[j] = a[j+1];
  9.                 a[j+1] = temp;
  10. }
  11. }
  12. }
  13. }
实际上，以上的冒泡排序算法还可以优化，当某次冒泡操作已经不再进行数据交换时，说明数组已经达到有序，就不需要再继续执行后续的冒泡操作了。优化后的代码如下：
  1. // 将数据从小到大排序
  2. void bubbleSort(int array[], int n){
  3. if (n<=1) return;
  4. for(int i=0; i<n; i++){
  5. // 提前退出冒泡循环发标志位
  6.         bool flag = False;
  7. for(int j=0; j<n-i; j++){
  8. if (temp > a[j+1]){
  9.                 temp = array[j]
  10.                 a[j] = a[j+1];
  11.                 a[j+1] = temp;
  12.                 flag = True; // 表示本次冒泡操作存在数据交换
  13. }
  14. }
  15. if(!flag) break; // 没有数据交换，提交退出
  16. }
  17. }
冒泡排序的特点：

  • 冒泡过程只涉及相邻元素的交换，只需要常量级的临时空间，故空间复杂度为 O (1)O(1)，是原地排序算法。
  • 当有相邻的两个元素大小相等的时候，我们不做交换，相同大小的数据在排序前后不会改变顺序，所以是稳定排序算法。
  • 最坏情况和平均时间复杂度都为 O (n2)O(n2)，最好时间复杂度是 O (n)O(n)。
  
二，插入排序（Insertion Sort）

  • 插入排序算法将数组中的数据分为两个区间：已排序区间和未排序区间。最初始的已排序区间只有一个元素，就是数组的第一个元素。
  • 插入排序算法的核心思想就是取未排序区间的一个元素，在已排序区间中找到一个合适的位置插入，并保证已排序区间数据一直有序。
  • 重复这个过程，直到未排序区间元素为空，则算法结束。
插入排序和冒泡排序一样，也包含两种操作，一种是元素的比较，一种是元素的移动。
当我们需要将一个数据 a 插入到已排序区间时，需要拿 a 与已排序区间的元素依次比较大小，找到合适的插入位置。找到插入点之后，我们还需要将插入点之后的元素顺序往后移动一位，这样才能腾出位置给元素 a 插入。
插入排序的 C++ 代码实现如下：
  1. void InsertSort(int a[], int n){
  2. if (n <= 1) return;
  3. for (int i = 1; i < n; i++) // 未排序区间范围
  4. {
  5.         key  = a[i]; // 待排序第一个元素
  6.         int j = i - 1; // 已排序区间末尾元素
  7. // 从尾到头查找插入点方法
  8. while(key < a[j] && j >= 0){ // 元素比较
  9.             a[j+1] = a[j]; // 数据向后移动一位
  10.             j--;
  11. }
  12.         a[j+1] = key; // 插入数据
  13. }
  14. }
插入排序的特点：

  • 插入排序并不需要额外存储空间，空间复杂度是 O (1)O(1)，所以插入排序也是一个原地排序算法。
  • 在插入排序中，对于值相同的元素，我们可以选择将后面出现的元素，插入到前面出现元素的后面，这样就可以保持原有的前后顺序不变，所以插入排序是稳定的排序算法。
  • 最坏情况和平均时间复杂度都为 O (n2)O(n2)，最好时间复杂度是 O (n)O(n)。
  
三，选择排序（Selection Sort）
选择排序算法的实现思路有点类似插入排序，也分已排序区间和未排序区间。但是选择排序每次会从未排序区间中找到最小的元素，将其放到已排序区间的末尾。
选择排序的最好情况时间复杂度、最坏情况和平均情况时间复杂度都为 O (n2)O(n2)，是原地排序算法，且是不稳定的排序算法。
选择排序的 C++ 代码实现如下：
  1. void SelectSort(int a[], int n){
  2. for(int i=0; i<n; i++){
  3.         int minIndex = i;
  4. for(int j = i;j<n;j++){
  5. if (a[j] < a[minIndex]) minIndex = j;
  6. }
  7. if (minIndex != i){
  8.             temp = a[i];
  9.             a[i] = a[minIndex];
  10.             a[minIndex] = temp;
  11. }
  12. }
  13. }
冒泡插入选择排序总结

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这三种排序算法，实现代码都非常简单，对于小规模数据的排序，用起来非常高效。但是在大规模数据排序的时候，这个时间复杂度还是稍微有点高，所以更倾向于用时间复杂度为 O (nlogn)O(nlogn) 的排序算法。
特定算法是依赖特定的数据结构的。以上三种排序算法，都是基于数组实现的。

四，归并排序（Merge Sort）
归并排序的核心思想比较简单。如果要排序一个数组，我们先把数组从中间分成前后两部分，然后对前后两部分分别排序，再将排好序的两部分合并在一起，这样整个数组就都有序了。
归并排序使用的是分治思想。分治，顾名思义，就是分而治之，将一个大问题分解成小的子问题来解决。小的子问题解决了，大问题也就解决了。
分治思想和递归思想有些类似，分治算法一般用递归实现。分治是一种解决问题的处理思想，递归是一种编程技巧，这两者并不冲突。
知道了归并排序用的是分治思想，而分治思想一般用递归实现，接下来的重点就是如何用递归实现归并排序。写递归代码的技巧就是，分析问题得出递推公式，然后找到终止条件，最后将递推公式翻译成递归代码。所以，要想写出归并排序的代码，得先写出归并排序的递推公式。
  1. 递推公式：
  2. merge_sort(p…r) = merge(merge_sort(p…q), merge_sort(q+1…r))
  3. 终止条件：
  4. p >= r 不用再继续分解，即区间数组元素为 1
  6. 归并排序的伪代码如下：
  7. merge_sort(A, n){
  8. merge_sort_c(A, 0, n-1)
  9. }
  10. merge_sort_c(A, p, r){
  11. // 递归终止条件
  12. if (p>=r) then return
  13. // 取 p、r 中间的位置为 q
  14.     q = (p+r)/2
  15. // 分治递归
  16. merge_sort_c(A[p, q], p, q)
  17. merge_sort_c(A[q+1, r], q+1, r)
  18. // 将A[p...q]和A[q+1...r]合并为A[p...r]  
  19. merge(A[p...r], A[p...q], A[q+1...r])
  20. }
4.1，归并排序性能分析
1，归并排序是一个稳定的排序算法。分析：伪代码中 merge_sort_c () 函数只是分解问题并没有涉及移动元素和比较大小，真正的元素比较和数据移动在 merge () 函数部分。在合并过程中保证值相同的元素合并前后的顺序不变，归并排序排序就是一个稳定的排序算法。
2，归并排序的执行效率与要排序的原始数组的有序程度无关，所以其时间复杂度是非常稳定的，不管是最好情况、最坏情况，还是平均情况，时间复杂度都是 O(nlogn)O(nlogn)。分析：不仅递归求解的问题可以写成递推公式，递归代码的时间复杂度也可以写成递推公式：
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3，空间复杂度是 O (n)。分析：递归代码的空间复杂度并不能像时间复杂度那样累加。尽管算法的每次合并操作都需要申请额外的内存空间，但在合并完成之后，临时开辟的内存空间就被释放掉了。在任意时刻，CPU 只会有一个函数在执行，也就只会有一个临时的内存空间在使用。临时内存空间最大也不会超过 n 个数据的大小，所以空间复杂度是 O (n)O(n)。

  五，快速排序（Quicksort）
快排的思想是这样的：如果要排序数组中下标从 p 到 r 之间的一组数据，我们选择 p 到 r 之间的任意一个数据作为 pivot（分区点）。我们遍历 p 到 r 之间的数据，将小于 pivot 的放到左边，将大于 pivot 的放到右边，将 pivot 放到中间。经过这一步骤之后，数组 p 到 r 之间的数据就被分成了三个部分，前面 p 到 q-1 之间都是小于 pivot 的，中间是 pivot，后面的 q+1 到 r 之间是大于 pivot 的。
根据分治、递归的处理思想，我们可以用递归排序下标从 p 到 q-1 之间的数据和下标从 q+1 到 r 之间的数据，直到区间缩小为 1，就说明所有的数据都有序了。
递推公式如下：
  1. 递推公式：
  2. quick_sort(p,r) = quick_sort(p, q-1) + quick_sort(q, r)
  3. 终止条件：
  4. p >= r
归并排序和快速排序总结
归并排序和快速排序是两种稍微复杂的排序算法，它们用的都是分治的思想，代码都通过递归来实现，过程非常相似。理解归并排序的重点是理解递推公式和 merge () 合并函数。同理，理解快排的重点也是理解递推公式，还有 partition () 分区函数。
除了以上 5 种排序算法，还有 3 种时间复杂度是 O (n)O(n) 的线性排序算法：桶排序、计数排序、基数排序。这八种排序算法性能总结如下图：
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  参考资料

  • 排序（上）：为什么插入排序比冒泡排序更受欢迎？
  • 排序（下）：如何用快排思想在 O (n) 内查找第 K 大元素？