在数字、模拟电路中，我们经常遇到带宽（BW）和采样频率（Fs）这两个参数，如何理解呢？我们通过下面一个应用实例来解释说明一下。

以电阻R和电容C构成的低通滤波器系统为例，如图（一）所示，根据自控原理的理论基础可知，其传递函数定义为：

（1）

其中，

，为角频率（单位是弧度/秒）。角频率和通常意义的频率

（单位为Hz）之间的关系是：

。

一阶低通滤波器的幅频特性Magnitude和相频特性Phase分别为：

（2）

由公式（2）和（3）不难得出如下结论：

习惯上，将-3dB信号幅度衰减所对应的频率，定义为系统的带宽；以图（一）所示一阶低通滤波器为例，其带宽为

。

这里还是以一阶低通滤波器为模型进行说明（计算过程有兴趣请参考自控原理等相关书籍），当输入信号为：

即：

（4）

则：

（5）

为了方便起见，将一阶低通滤波器的带宽归一化，即令

，对于相同幅度不同频率的输入信号，其输入/输出关系如图（二）所示，可以看到：随着正弦输入信号的频率越来越高，一阶低通滤波器输出的幅值越来越小，相移越来越大。

即

（6）

则

（7）

从公式（7）可以看出，

settle到90%的幅值所需的时间是：

（8）

因此一阶低通滤波器的带宽

越大，则系统对输入信号的响应越快，其输入/输出关系如图（三）所示，

以上分析均基于一阶低通滤波器模型，对于高阶滤波器模型的带宽及其响应，有兴趣的读者可以参考自控原理相关教材，这里不做赘述。

MagnTek公司MT910x系列线性霍尔产品，可以用一阶低通滤波器模型来近似，如图（四）所示为典型应用框图：MT910x检测外界磁场信号

，并将其转化为电压信号

，客户可以用ADC对输出电压信号

进行采样并将其转化为数字信号

，以便后续进行更为复杂的数字信号处理。

这里，从

到

之间便可以用一个带宽为30KHz的一阶低通滤波器模型来近似（需要在公式（1）的分母上乘以MT910x的灵敏度）。有兴趣的读者可以推导下针对不同外界输入磁场

，MT910x的响应

。

如图（五）所示为一个典型的采样系统：模拟输入电压信号Vin经过模数转换器（ADC）采样/量化得到Dout，Dout经过数模转换器（DAC）得到模拟输出电压信号Aout，Aout经过理想低通滤波器（LPF）滤波，便可以得到平滑后的模拟电压信号Fout。采样定律描述的便是满足什么样的条件，Fout 100%等于Vin。

根据采样定律的理论可知，要想不失真地对模拟信号进行采样，需要满足条件：采样频率Fs大于等于信号带宽的2倍。

下面就来定性的分析一下采样定律。在此之前先明确一个概念：根据信号与系统的相关理论，任何一个信号都有时域和频域两种表示方式，这两种表示方式完全等价，并可以运用傅里叶变换和反傅里叶变换相互转化。也就是说，一个信号时域波形确定了，其频谱图也就确定了，反之亦然。

如图（六）所示为采样率大于信号带宽2倍时，图（五）所示采样系统各个节点处的信号，左边的图横坐标是时间，纵坐标是幅值，表示该信号的时域波形；右边的图横坐标是频率，纵坐标是幅值，表示该信号的频谱图。

如图（七）所示为采样率小于信号带宽2倍时，图（五）所示采样系统各个节点处的信号。区别在于：

从上面分析可知：当采样率小于信号带宽的2倍时，输入信号Vin经过采样系统后无法100%还原，即信息发生丢失。

在现实中，理想的低通滤波器是无法实现的，由于实际的低通滤波器过渡带无法做到无限窄，如图（八）所示，因此为了保证不发生混频，采样率一般会远远高于2倍信号带宽。