直观的阐述傅里叶变换中隐含的基础原理

如下就是著名的傅里叶变换公式，也是最伟大的数学公式之一


我们输入一个有关时间t的函数，就会得到一个有关ω的输出函数，这个公式会告诉我们信号中存在哪些正弦波。为什么这么说呢？


如果我们输入一个纯余弦函数或纯正弦波函数，输出函数只有一个尖峰，因为余弦函数是关于y轴对称的，所以你会看到两个尖峰，如下图所示


而且这两个尖峰对应的角频率ω=2和ω=-2


如果我们输入的是一个非周期函数，经过傅里叶变换就会得到一个更为复杂的结果，因为这个非周期函数需要无穷多个正弦波的叠加才能形成


如下图所示：中间的蓝色部分，是无穷多个正弦波的叠加，构成了非周期的方波。右边的波浪线是f(t)在各个频率上的分布强度，可以理解为正弦波的强度






在这里有一个非常有意思的结论：傅里叶变换的零点，表示的是原始信号曲线下的面积，


在这里，当角频率ω=0的时候，变换公式中有关e的指数项等于1


所以我们就得到了一个一般性的积分公式，它就是曲线下的面积，如下图所示




用图解的方法解读傅里叶变换的本质原理

前面的文章我们详细的从另一个角度来解读傅里叶变换，傅里叶变换为非周期函数的处理提供了强有力的数学工具，我们用欧拉公式将e的指数项分解为实数和虚数两部分


我们以矩形函数为例，这个矩形函数的T=∞，左边对应的是实数情况下的余弦波，右边对应的是复数情况下的正弦波函数，我们来看这个波形是如何与傅里叶变换对应的


因为矩形波在-0.5<t<0.5的情况下等于1，其余都等于0，所以就是如下的图形


正余弦阴影区域的面积之和就是我们要得到的傅里叶变换


如下，当角频率ω=2.14时，左边图形下的面积=0.82，右边等于0，所以ω=2.14时傅里叶变换就等于0.82


但有一个有趣的结论：ω=0时，傅里叶变换的值就是原函数曲线下的面积，如下图面积等于1，但右边的波形区域下的面积始终等于0


我们继续，当ω=6.28=2π时，左边的余弦波图形是一个完整的周期函数，所以面积等于0，右边的正弦波函数图形仍然等于0


所以ω=0时，傅里叶变换F(ω)的值等于0


当ω=10.8，左边正弦波下的面积是-0.14，所以F(ω)=-0.14


当ω=22时，左边正弦波下的面积是-0.09，右边图形下的面积始终等于0，所以F(ω)=--0.09，




来源：电子通信和数学领域