背景
时域分析与频域分析是对模拟信号的两个观察面。
时域分析是以时间轴为坐标表示动态信号的关系;频域分析是把信号转变为以频率轴为坐标表示出来。
一般来说,时域的表示较为形象与直观,频域分析则更为简练,剖析问题更为深刻和方便。
目前,信号分析的趋势是从时域向频域发展。然而,它们是互相联系,缺一不可,相辅相成的。
对于这几天提到的PWM滤波电路,如果使用一阶R、C低通滤波电路,
在时域进行分析时,可以通过电容的电压和电流的微分关系得到一阶常微分方程,求解该方程得到电容两端的电压表达式,能比较清楚地分析电路的充、放电过程,计算得到纹波系数;
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一阶R、C低通滤波电路

分析得到,纹波系数比较大 ,为了得到小于0.5%的纹波系统,对于频率为1.5KHz的PWM信号,R、C滤波电路的时间常数需要大于100ms左右。
为此,我们再加上一级R、C低通滤波电路以降低纹波,得到如下图所示的二阶R、C低通滤波电路,在时域分析求解微分方程变得非常困难,难以得到电压的解析表达式。
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二阶R、C低通滤波电路

因此,我们需要在频率域进行分析。
三角函数的积分公式
有以下三角函数的微、积分公式:
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对于频率为某个频率f0的整数倍的两个正弦信号在一个周期内的定积分计算为:
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上式中, 7e0a0ef79cee4273aaf9817e328e0f1b.jpg ,M,N为正整数;
根据三角函数的积化和差公式,得到:
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从而,当 3955def4a93d433ab1dba074a227eac1.jpg
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e9052335ab0a40e1ba903e1d7b9e34ce.jpg 时 ,
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因此,对于一组以频率f的整数倍频率的三角函数,具有正交性特点。
即这组三角函数中任意两个不同函数的乘积在一个周期的积分为0。
PWM信号的傅里叶级数展开
对于周期为T,占空比为 e56d7cb93f9545b789dcd6c8212703ce.jpg ,低电平为0V,高电平为U的PWM信号。
PWM信号平移成偶函数,在一个信号周期内的数学表达式为:
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PWM信号的数学表达式

波形如下:
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PWM信号波形

可以认为该PWM信号由直流分量,以及频率为PWM频率整数倍的各种余弦波而成。
数学公式表示为:
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将上式左右两边同时乘以 edcaef6954634e0b92a97ccdaa153e54.jpg ,并在PWM的一个周期内进行积分,根据三角函数的正交性,得到:
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将u(t)代入,得到:
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最终得到PWM信号的傅里叶级展开式为:
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以占空比为50%,高电平U=1V的PWM为例,其直流成份以及前几次谐波的幅度如下:

n

幅度
0
0.5
1
0.64
2
0
3
-0.21
4
0
5
0.13
6
0
7
-0.09



直流分量以及前7次谐波分量叠加的波形如下:
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PWM的直流分量以及前7次谐波分量叠加波形

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通过multisim仿真软件的频谱分析仪分析PWM信号的频谱

一阶R、C滤波电路的频率特性 30f1455436bf43e1bcd11b63d00c97ce?from=pc.jpg
一阶R、C滤波电路

在频域分析上述电路,电阻R1的阻抗为R1,电容C1的阻抗为 54d3e47454974b60929c1442f0367236.jpg
输入输出传递函数 0b5e8bd1522b4b6c91dd654b131afd09.jpg
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幅值增益 04d8aee800184e759d6ccbe2ee35ce60.jpg
当输入U1为式1定义的PWM信号时,输出U2表示为:
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为了达到0.1%的精度,考虑第1次谐波分量的幅度与高电平相比<0.01%。
即有:
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bb3d48d462854e75af438c9cfa094f10.jpg 时,该值最大,所以要求:
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解得:
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当PWM的频率为1.5KHz时, db2d338f7dbb4931b58d88d74079b187.jpg
也就是,比如高电平为1V,频率为1500Hz,占空比为50%的PWM信号,
当R1、C1的时间常数大于675mS时,1次谐波的分量的幅度小于0.1mV。
二阶R、C滤波电路的频率特性 7730944067564c7fb06a2febb55bd2a6?from=pc.jpg
二阶R、C电路

对于二阶R、C电路,取R1=R2=R,C1=C2=C,其传递函数为:
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化简得下:
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其幅度增益为:
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当R*C*w>>1时,
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为了达到0.1%的精度,只需要:
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当PWM的频率为1.5KHz时, 8716803f833c479b91aed8f3bcd1eb8f.jpg
可以选择以下参数:
R1=R2=20kΩ,C1=C2=470nF。

来源:物联网全栈开发